Цели урока:
- способствовать формированию умений применять приемы переноса знаний в новую ситуацию, моделирования этой ситуации, развитию мышления, речи и внимания;
- создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений;
- содействовать воспитанию интереса к предмету, активности, культуры общения.
Оборудование:
- высказывание “Вечная загадка мира — его познаваемость” (А. Эйнштейн);
- на столах у каждой группы учащихся “Правила для руководства ума”;
- карточки с различными уравнениями;
- бланки для теста.
Ход урока
I. Установка творческой деятельности
Учащиеся сидят по группам — 4 человека.
Учитель: Ребята, мы с вами живем в загадочном мире. “Вечная загадка мира - его познаваемость”, - эти слова А. Эйнштейна стали крылатой фразой, потому что для воспитанного, образованного человека жить - значит мыслить, постигать тайны, законы Вселенной.
И мы сегодня с вами, следуя “Правилам для руководства ума” Рене Декарта (Приложение), разработанным им в XVII веке, будем руководить ходом своих мыслей, начиная с уравнений простейших и легко познаваемых, восходить мало-помалу, как по ступенькам, до знания наиболее сложных уравнений высших степеней.
Итак, начинаем творить.
Запишите очередное числовое равенство. (Учитель предлагает различные варианты равенств).
- 2 + 7 = 9
- 5 = 5
- 31 = 32 – 1
Измените каждое из равенств, чтобы в нем появилось загадочность, неопределенность
- 2 + х = 9
- 5х = 5
- 31х2 = 32х – 1
Получили уравнение. Сколько решений имеет каждое из них?
А теперь постарайтесь надеть маску на эти высказывания.
а + х = 9 - уравнение с параметром
5
х
= 5 - уравнение с радикалом (иррациональное)
31х2 = 30 |х| + 1 - уравнение с модулем
Итак, вы увидели, что мы из ясной очевидности ушли в неопределенность. Захлопываем дверь. Но у нас с вами остаются ключи. Научить не пользоваться этими ключами – в этом и будет состоять разгадка неопределенности, секретов уравнений этих степеней.
II. Погружение в тайны способов решений уравнений высших степеней.
Решим уравнение х3 + 2х - 3 = 0 разными способами. Красивое уравнение, не правда ли?
I группа решит это уравнение:
- разложением на множители;
- с использованием понятия монотонности функции.
II группа:
- с помощью деления многочлена на многочлен;
- графически (система координат предложена группе готовой на листе формата A3)
III группа:
- методом неопределенных коэффициентов;
- с использованием схемы Горнера.
Учитель предлагает одному из представителей группы готовить решение у доски.
1. С использованием монотонности функции х3 + 2х - 3 = 0. Левую часть уравнения можно рассматривать как сумму функций у = х3 и у = 2х - 3. Обе функции определены на множестве R и являются возрастающими. Следовательно, их сумма - возрастающая функция. А так как каждая монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное 0, она может принимать лишь при одном значении х. Значит, это уравнение, если имеет корень, то только один. Испытывая делитель свободного члена, находим, что х = 1.
Ответ: 1.
2. Деление многочлена на многочлен “уголком”. По теореме Безу находим корень х = 1.
(х – 1) (х2 + х + 3) = 0;
х2 + х + 3 = 0;
Д = 1 – 12 < 0, корней нет.
3. Метод неопределенных коэффициентов.
(х – 1) (х2 + рх + q) = 0;
х3 – х2 + рх2 – рх + qх – q = 0;
(х – 1) (х2 + х + 3) = 0;
х2 + х + 3 = 0, - корней не имеет.
4. Схема Горнера при решении уравнения.
(х – 1) (х2 + х + 3) = 0
5. Разложение на множители левой части уравнения.
х3 + 2х – 2 – 1 = 0;
(х3 – 1) + 2(х – 1) = 0;
(х – 1)(х2 + х + 1) + 2(х – 1) = 0;
(х – 1)(х2 + х + 1+ 2) = 0;
х – 1 = 0 или х2 + х + 3 = 0;
6. Графический способ.
х = 1, корней нет.
Итак, ребята, мы подобрали 6 ключей к раскрытию тайны уравнений. Неисчерпаемы возможности человека. Существуют ещё способы решения этого уравнения. Так, например, с использованием формулы Кардано. В ходе ожесточенного математического боя возникла эта формула в XVII веке (Учитель показывает эту формулу та листе A3). К концу учебного года после изучения темы “Корень n-ой степени” мы эту формулу сможем применять. Об истории этой формулы вы можете прочитать в книге “За страницами учебника математики”.
А ещё в конце учебного года сможем решить уравнение с помощью бинома Ньютона. Может быть, кто-то из вас в дальнейшем изобретет ещё не один способ для решения уравнений высших степеней. Какая же красивая наука математика!
III. Углубление в тайны решений уравнений.
А теперь давайте расширим наши возможности. Я усложняю задание. Решите уравнение третьей степени с модулем.
Работаем самостоятельно.
I группа х3 + 8 = 3х |х + 2|
II группа х2 |х - 3| = 6х – 8
III группа х |х2 - 6| = 3х2 – 8
У доски проверить уравнение I группы х3 + 8 = 3х |х + 2|.
По теореме Безу х = 1.
(х – 1)(х2 – 2х – 8) = 0;
х2 – 2х – 8 = 0;
D = 9; х1 = -2; х2 = 4;
х = -2;
(х + 2)(х2 + х + 4) = 0;
х2 + х + 4 = 0;
корней нет, так как D < 0,
Ответ: -2; 4; 1.
Решения и ответы остальных уравнений проверить в группах.
IV. Проверка знаний учащихся с помощью теста “Испытай себя”.
Задания теста взяты из ЕГЭ. Индивидуально каждому карточка с заданиями.
1) х3 + 2007х – 2008 = 0
Ответы: а) 1; б) -1; в) 2007; г) корней нет.
2) 7 – 3х = х + 7
Ответы: а) -2; 21; б) -14; -3; в) 2; 21; г) -3.
3) Составить уравнение по его корням: х1 = -1; х2 = -2; х3 = -3.
Ответы:
а) х3 + 11х2 + 6х + 6 = 0;
б) х3 + 6х2 + 6х + 11 = 0;
в) х3 + 6х2 + 11х + 6 = 0;
г) х3 + 11х + 6 = 0.
Самооценка (проверка результатов на скрытой доске).
V. Домашнее задание-проблема.
Постарайтесь расширить ещё свои возможности. Выполните вот такое красивое задание:
- При каких значениях параметра а уравнение х2-(а+1) |х| +а = 0 имеет три решения?
VI. Подведение итогов урока.
Итоги подводят учащиеся.
Учащиеся вместе с учителем оценивают деятельность каждого ученика на всех этапах урока.