Среди выпуклых многоугольников, правильные занимают особое место, обусловленное взаимосвязью и взаимозависимостью их элементов.
Определение 1
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы соответственно конгруэнтны.
Замечание 1
Основные особенности взаимозависимости правильных многоугольников полезно рассматривать в среде окружностей вписанных и описанных возле этих многоугольников.
Для дальнейших рассуждений в указанном направлении, рассмотрим несколько ключевых лемм и установим их взаимосвязь с изучаемой ситуацией.
Лемма 1
Геометрическим местом точек на плоскости, равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.
Доказательство:
Замечание 2
Доказательство этой леммы полезно предложить учащимся как задачу на доказательство (проблемная ситуация при работе в группах).
Лемма 2
В правильный многоугольник можно вписать окружность.
Доказательство:
Условие данной леммы можно переформулировать следующим образом: биссектрисы всех внутренних углов правильного многоугольника пересекаются в одной точке. Докажем это:
В правильном многоугольнике А1 А1 ... Аn выполним построения:
Замечание 3
Доказательство этой леммы полезно предложить в эстафетной дискуссии, в которой каждый поворотный или значимый этап доказательства необходимо премировать.
Лемма 3
Геометрическим местом точек на плоскости, равноудалённых от концов отрезка, являются точки серединного перпендикуляра к этому отрезку. Докажем это:
Замечание 4
Доказательство этого утверждения можно поручить группе выравнивания (средним по силе ученикам), для получения бонуса в их исследовательской работе.
Лемма 4
Около правильного многоугольника можно описать окружность.
Доказательство:
Условие этой леммы можно переформулировать следующим образом: серединные перпендикуляры ко всем сторонам правильного многоугольника пересекаются в одной точке. Докажем это:
Замечание 5
Доказательство этого утверждения можно предложить в виде мозгового штурма лидеров групп, при работе в группах, премируя учащихся бонусами для своих команд.
Итак:
Основной целью изучения лемм 1–4 было формулирование ключевой теоремы.
Теорема
В правильный многоугольник можно вписывать окружность и описать около него окружность. Центры этих окружностей совпадают.
Докажем это:
