Открытый урок "Решение задач повышенной сложности" (Функция Антье. Теория чисел)

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Обучающая: развитие и совершенствование навыков применение теории и ранее полученных знаний при решении задач повышенной сложности, повторение приемов, применяемых при решении задач, связанных с понятиями целая и дробная часть числа, простое число, факториал.
  • Развивающая: развитие математических способностей учащихся через решение задач повышенной сложности, развитие логического мышления, познавательной активности, сообразительности, смекалки.
  • Воспитательная: формирование умения вести культурную дискуссию, формирование коммуникативных качеств и развитие волевых качеств.

Тип урока: практикум по решению задач.

Оборудование: раздаточный материал.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Постановка целей урока, знакомство с планом урока.

II. Проверка домашней работы

а) Просмотреть индивидуально.

б) У доски рассматриваются все различные варианты решений, предложенные учащимися. Если идея решения задачи интересна и может привести к положительному результату, но учащийся ее не довел до логического конца, то ее тоже рассмотреть и довести решение до конца совместными усилиями. Интересные идеи, не приведшие к решению, анализируются с другой стороны: почему выбрав такой путь решения задачи, нельзя ее решить задачу? В чем ошибка выбора?

в) Анализ выполненной домашней работы.

У доски (рассматриваются, по необходимости, решения домашних задач по предложенным критериям):

1. Решить уравнение x3 – [x] = 3 (ученик).

2. Сократить дробь 100!/6100 (ученик).

3. Докажите, что существуют число вида 19911991…199100..0, которое делится на 1992.(ученик).

4. Фронтально

Пока учащиеся готовятся к ответу, остальные:

а) Одно из домашних заданий было: определить является ли число 1993 простым числом. К какому выводу вы пришли? На основании чего вы сделали этот вывод? (Обсудить, вспомнить похожие ситуации).

б) Если при решении задачи никто не попытался использовать Критерий Вильсона и о нем в ходе обсуждения не зашла речь, то напомнить самой ). Вспомнить при решении каких задач этот критерий уже приходилось использовать.

(Будет использоваться при решении одной из задач в классе).

Слушаем ответы.

1. Решить уравнение x3 – [x] = 3 (ученик).

Решение.

Запишем уравнение иначе: x3 – 3 = [x]. Построим график левой и правой частей уравнения: y = x3 – 3 и y = [x]. A(x; 1) лежит на графике y = x3 – 3 и на графике y = [x]. Абсцисса точки А– решение уравнения.

Получили: 1 = x3 – 3, x3 = 4, x = 34.

Ответ: x = 34.

2. Сократить дробь 100!/6100 (ученик).

Решение.

Чтобы сократить дробь и найти знаменатель дроби после сокращения, найдем в какой степени 2 и 3 входят в разложение на простые множители числа 100! (6100 = 2100 · 3100). Пусть 100! = • М, где М – произведение остальных множителей. = [100/2] + [100/22] + [100/23] + … + [100/26] = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.

= [100/3] + [100/32] + [100/33] + … + [100/34] = 33 + 11 + 3 + 1 = 48.

Получили: 100!/6100 = (297·348•М)/(2100·3100) = М/(23·352).

Ответ: 23 · 352.

Примечание. Учащиеся анализируют предложенное решение

3. Докажите, что существует число вида 19911991…199100..0, которое делится на 1992. (ученик).

Решение.

Рассмотрим числа а1 = 1991, а2 = 19911991, а3 = 199119911991,…,а1992 = 19911991…1991.

Всего чисел 1992. Среди них нет ни одного делящегося на 1992

(1992 – четное число, а а1, а2, …,а1992 – нечетные), то тогда есть хотя бы два числа с одинаковыми остатками (по принципу Дирихле). Их разность и будет числом вида 199119911991…199100…0.

Примечание. Рассматриваются все предложенные решения задач.

III. Решение задач в классе

Работа над задачей идет по отработанной схеме:

а) Лови идею – время на размышление (максимальная самостоятельность каждого учащегося);
б) Поделись идеей – тихий опрос;
в) Обсуждение идей (фронтально);
г) Мозговой штурм – самостоятельное решение задачи учащимися;

д) Обсуждение предложенных решений. Если решения задачи отличны от решения учителя, то предлагает свое решение учитель, после всех предложенных решений учащимися. Если идея решения принципиально отлична от уже предложенных идей, то предлагает учитель только идею решения, а решение предлагается найти самим учащимся.

Задача А. Найти [x], если x = 1 + (1/2)2 + (1/3)2 + (1/4)2 + … + (1/2005)2.

Решение.

Чтобы найти целую часть числа достаточно оценить данное число.

Так как x = 1 + (1/2)2 + (1/3)2 + … + (1/2005)2, то x > 1. Оценим справа значение x. Так как 1/n2 < 1/(n – 1)n (n – натуральное число), то
(1/2)2 < 1/(1 • 2), (1/3)2 < 1/(2 • 3), …, (1/2005)2 < 1/(2004 • 2005).

Получили: x = 1 + (1/2)2 + (1/3)2 + … + (1/2005)2 < 1 + 1/(1 • 2) + (1/2 • 3) + … + 1/(2004 • 2005) = 1 + 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + … + 1/2004 – 1/2005 = 2 – 1/2005 < 2. Значит 1 < x < 2. Тогда [x] = 1.

Задача В. Докажите, что [(2 + 3)2002] – нечетное число.

Решение.

Запишем (2 + 3)2002  =  А + В3 (а), где А – сумма всех слагаемых, содержащих четную степень 3 (А – натуральное число), а В3 – сумма всех слагаемых, содержащих нечетную степень 3 (В – натуральное число). Тогда (2 – 3)2002 =   А – В3 (б) (по аналогии с (2 + 3)2002 =  А + В3).

Суммируя (а) и (б), получим: (2 + 3)2002 + (2 – 3)2002 = 2А (1) и (а) • (б) получим, что (2 + 3)2002 · (2 – 3)2002 = 1. (2)

Из (1) получим: (2 + 3)2002 = 2А – (2 – 3)2002, тогда (2 + 3)2002 = 2А – 1 + 1 – (2 – 3)2002 (*). Из (2) получаем: (2 –3)2002 = 1/(2 + 3)2002. Из (*) получим: (2 + 3)2002 = 2А – 1 + 1 – 1/(2 + 3)2002. Но 2А – 1 – натуральное число, а число 1 – 1/(2 +3)2002 – положительное число меньшее 1. Получили, что число (2 + 3)2002 равно сумме натурального числа 2А – 1 и положительного числа меньшего единицы 1 – 1/(2 + 3),
тогда [(2 +3)2002] = 2А – 1, а 2А – 1 – нечетное число, значит [(2 + 3)2002] – нечетное число. Что требовалось доказать.

Задача С.

а) Даны два числа А = 92! • 1901! – 1 и В = 92! • 1900! + 1. Докажите, что А + В делится на 1993.

б) Докажите, что оба числа 91! • 1901! – 1 и 92! • 1900! + 1 делятся на 1993.

Решение.

а) А + В = 91! • 1901! – 1 + 92! • 1900! + 1 = 91! • 1900!(1901 + 92) = 91! • 1900! • 1993, тогда по свойству делимости, произведение, содержащее множитель 1993, делится на 1993. Значит А + В делится на 1993.

Решение.

Доказано, что А + В делится на 1993. Чтобы А делилось на 1993 и В делилось на 1993 достаточно доказать, что В делится на 1993 (если сумма делится на некоторое число и одно из слагаемых делится на это число, то второе слагаемое делится на это число). Делимость числа В на 1993 совпадает с делимостью на 1993 числа В + 1993к, где к – целое число. Рассмотрим число (1993 – 1)(1993 – 2)(1993 – 3)…(1993 – 92)1900! + 1 (*). Если раскрыть скобки, то получим число вида В + 1993к, но 1992 • 1991 • 1990 • … • 1901 • 1900 = 1992!, тогда (*) примет вид:
1992! + 1 = (1993 – 1)! + 1(а). По критерию Вильсона, так как 1993 – простое число, то (1993 – 1)! + 1 делится на 1993. Получили, что В делится на 1993, но тогда и число А делится на 1993. (А + В делится на 1993, В делится на 1993, тогда А делится на 1993, по свойству делимости).

IV. Анализ решенных задач

– Перечислите основные теоретические положения, которые использовались сегодня при решении задач. Как они помогли при решении задач? Смогли бы решить задачу Сб, если бы забыли критерий Вильсона? Если “да”, то как?. Если “нет”, то не слишком ли категоричны? Может стоит еще подумать над этой задачей!

– Какая задача, решенная сегодня на уроке, была более интересной? Почему?

V. Домашнее задание

Задача № 1. (Соросовская олимпиада).

Решите систему уравнений: x  +  [y]  +  {z}   =  3,9  =  y  +  [z]  +  {x}  =  3,5   =  z  +  [x]  +  {y}  =  2.

Задача № 2. (Соросовская олимпиада).

Решите уравнение x2 – 10[x] + 9 = 0.

Задача № 3. Рассмотрим последовательность 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, … (последовательно выписаны единица, две двойки, три тройки, четыре четверки, пять пятерок и т. д.). Какое число стоит на месте с номером 2005?

(Дополнительное задание)

Задача № 4. Сколько целых точек расположено на сторонах и внутри треугольника, образованного прямыми y = 2/3 • x – 1/2, x = 10 и осью абсцисс? (Под целыми точками мы будем понимать точки (x,y) координатной плоскости с целочисленными координатами).

VI. Итог урока

Оценивается работа учащихся на уроке. Отмечается степень активности, самостоятельности, смелости взять ответственность на себя, умение использовать знание теории. Особо поощряется ученик, который применил новые знания, добытые самостоятельно из дополнительных источников. Выставляются отметки.

Литература

  1. Журналы “Квант”, Математика в школе” выпуски всех лет.
  2. Книги 9 класс, 10 класс, 11 класс “Математические олимпиады школьников”.
  3. Москва “Просвещение” “Учебная литература” соответственно 1997, 1998, 1999 г.
  4. Задачи олимпиад разных уровней.
  5. Интернет “Путеводитель “В МИРЕ НАУКИ” для школьников. Ресурсы сайта (Математика)”.

Открытый урок проведен в 9 профильном классе.

При решении задач используем понятия целой и дробной части числа; теорию делимости чисел; критерии простого числа; основную теорему арифметики; принцип Дирихле и другие, не менее важные, теоремы и задачи. Ничто так не привлекает внимания и не стимулирует работу ума, как удивительное. Лови идею. Лови ошибку. Мозговой штурм.… Изящество и красоту применения теории и ранее полученных знаний, надеюсь, удастся почувствовать на нашем открытом уроке при решении задач.

Буду рада, если наш урок кому-то из коллег будет полезен.

Приложение 1

Раздаточный материал

Решаем в классе:

Задача А. Найти [x], если x = 1 + (1/2)2 + (1/3)2 + (1/4)2 + … + (1/2005)2.

Задача В. Докажите, что [(2 + 3)2002] – нечетное число.

Задача С.

а) Даны два числа А = 92! • 1901! – 1 и В = 92! • 1900! + 1. Докажите, что А + В делится на 1993.

б) Докажите, что оба числа 91! • 1901! – 1 и 92! • 1900! + 1 делятся на 1993.

Дополнительное задание

Задача № 4. Сколько целых точек расположено на сторонах и внутри треугольника, образованного прямыми y = 2/3 • x – 1/2, x = 10 и осью абсцисс?

(Под целыми точками мы будем понимать точки (x, y) координатной плоскости с целочисленными координатами x и y).

Домашнее задание.

1. Задача № 1. (Соросовская олимпиада).

Решите систему уравнений: x  +  [y]  +  {z}   =  3,9  =  y  +  [z]  +  {x}  =  3,5   =  z  +  [x]  +  {y}  =  2.

2. Задача № 2. (Соросовская олимпиада).

Решите уравнение x2 – 10[x] + 9 = 0.

3. Задача № 3. Рассмотрим последовательность 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, …(последовательно выписаны единица, две двойки, три тройки, четыре четверки, пять пятерок и т. д.). Какое число стоит на месте с номером 2007?.

4. Смотри выше (дополнительное задание).