Математика возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. Оторванность математических знаний школьного курса от практики приводит к непониманию цели изучения сложных формул, многочисленных теорем, правил; вызывает снижение интереса к математическим знаниям. Первостепенная задача учителя математики показать неразрывную связь теории с практикой. Только тогда математическое образование не будет абстрактным, и у учащихся все реже будет возникать вопрос: “А зачем нам нужно изучать математику?”
Важнейшим средством активизации самостоятельной, творческой деятельности учащихся, развитие их умственных способностей является задача. Однако за краткой математической редакцией задачи далеко не всегда можно уловить ее практическое содержание, а потому теряются важные моменты, возбуждающие интерес к ней. Чтобы не допустить таких потерь, необходимо использовать задачи, вызывающие познавательный интерес у учащихся, связанные с ситуациями в повседневной жизни. При решении задач целесообразно применить следующие методические приемы.
1. Демонстрация тесной взаимосвязи теории и практики.
Учащимся весьма интересно и важно видеть, как из практической задачи возникает теоретическая и как “чисто” теоретической задаче можно придать практическую форму.
Изучается, например, в 5 классе тема “Деление с остатком”, классу предлагается следующее задание:
Задача 1. Найти остаток от деления числа 367 на 7.
Стандартная задача, стандартно и ее решение. Зато, какой интерес вызывает та же задача, но в других формах:
1А. Докажите, что первый и последний день 2007 года один и тот же день недели.
1Б. 1 января 2007 года было понедельником. А каким днем недели будет 31 декабря 2007 года?
Эти задания – яркий пример того, как теоретическая задача возникает из практической. В данном случае обе задачи 1А и 1Б сводятся к теоретической 1. Однако важно показать учащимся не только это, но и то, что задача 1 может быть облачена в практическую форму. Все три задачи не что иное, как три различные вариации одной и той же задачи, которые в совокупности с другими вариациями могут быть использованы в самых разнообразных условиях работы с учащимися.
Мы пользовались варьированием задач в разных целях, важнейшими из которых были: обучение применению знаний для получения новой информации, создание ситуаций поиска, развитие познавательной самостоятельности и творческой активности, индивидуализация и дифференциация обучения.
2. Формирование у учащихся навыков в самостоятельном составлении задач.
Опыт показывает, что умение учащихся самостоятельно находить проблемные ситуации, позволяющие формулировать задачи, в значительной степени способствует формированию у них познавательных интересов, росту их активности.
Вот примеры некоторых задач, составленных самими учащимися на основе некоторых особенностей календаря.
Задача 2. Сколько раз в 2007 году встретиться понедельник? А другие дни недели?
Задача 3. Может ли быть в одном месяце 5 понедельников и 5 четвергов?
Задача 4. 1 января 2007 года было понедельником. В каком году 1 января вновь будет понедельником?
Задача 5. Может ли в феврале быть 5 понедельников и 5 вторников?
3. Пропедевтика некоторых основных понятий математики в задачах практического содержания.
При изучении темы “Умножение” в 5 классе учащимся предлагается такая задача:
Задача 6: Сколькими способами можно расставить на полке три различные книги?
Учащиеся не только нашли решение этой задачи, но и сформулировали новый вопрос: “Сколькими способами можно разложить в портфеле 4 учебника?” - и сами на него ответили. И хотя учащиеся не смогли сделать обобщение этой задачи, подход к такому обобщению был подготовлен. Так был заложен первый кирпичик в фундамент знаний и представлений о комбинаторике. Основой для этого послужила простейшая практическая ситуация.
Задача 7. Если на маршруте работают два автобуса, то интервал движения – 21 минута. Каков будет интервал движения, если на линии будет три автобуса?
Эта задача дает учащимся первое представление об обратно пропорциональной зависимости.
Задача 8. В четырех 5 классах 159 учеников. В 5А и в 5Б классах 78 учеников, в 5Б и 5В – 80 учеников, в 5В и 5А – 82. Сколько учащихся в каждом из 5 классов?
Эта задача интересна тем, что осуществляет алгебраическую пропедевтику, знакомя учащихся с понятиями системы уравнений, решений системы уравнений.
4. Включение в учебный процесс задач описывающих ситуации, возникающие в жизни.
Такие задачи учащиеся всегда воспринимают с интересом и особым вниманием – ведь с ними может встретиться каждый на улице, в транспорте, магазине и т.п. Приведем примеры.
Задача 9. В школьном турнире участвует шесть команд. Каждая команда будет играть с каждой по одному разу. Сколько игр будет проведено в турнире?
Задача привлекает всех ребят и особенно тех, кто увлекается спортом. Можно задать дополнительный вопрос: “Сколько дней продлится турнир, если ежедневно проводить по три матча?”
Задача 10. Сережа, Миша и Дима выезжают одновременно из города на рыбалку на велосипедах. Сережа решил делать остановки через каждые 2 км. Миша – через 3 км, Дима через 4 км. Через сколько километров они сделают остановку все вместе?
Эта типичная задача на наименьшее общее кратное вызывает оживление в классе. Оказывается, в летние каникулы у ребят была сходная ситуация. И вот теперь они встретились с нею вновь. Авторитет задачи обеспечен.
Опыт показывает, что включение в учебный процесс математических задач практического содержания необходимо и чрезвычайно важно. Эти задачи важны в психологическом отношении, так как формируют интересы учащихся, развивают их логическое мышление. В методологическом отношении эти задачи интересны тем, что позволяют показать тесную взаимосвязь теории и практики. Методическая ценность этих задач состоит в том, что они обеспечивают возможность для применения разнообразных форм и методов обучения.
Всякое понятие, в том числе математическое является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчеркивает существенные.
Формирование математических абстракций может привести к формализму в знаниях учащихся, если оперирование ими будет бессодержательно, если за каждой абстракцией ученик не увидит наглядной мысленной картины, то есть образа. Игнорирование практической деятельности учеников с материальными или материализованными объектами, которые несут наглядное знание и формируют образы, приводит к появлению поверхностных знаний, а иногда к отсутствию их.
Обыкновенная дробь является, по существу, первой глубокой математической абстракцией, которая встречается в школьном курсе. Пренебрежение учителем содержательной стороной изучаемых понятий, быстрый переход к формальному оперированию дробями без достаточно надежной опоры на наглядность приводят к тому, что слабые, а то и средние ученики не понимают изучаемого материала. Порой за обозначением 3/5 ученик не видит никакого образа. Для такого ученика и операции над дробями превращаются в серию непонятных процедур, последовательность которых ему приходиться просто запоминать.
Формированию верного представления о понятии “Обыкновенная дробь” и умению пользоваться им способствуют практические работы с материализованными объектами.
Осваивая понятие “Обыкновенная дробь”, ученик должен поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и числа взятых долей. Дроби есть числа, поэтому уже на первом этапе нужно дать ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью.
На этом этапе обучения весьма полезны карточки. Каждый ученик получает свою карточку, которая отличается от карточек у других ребят. Это побуждает ученика действовать самостоятельно, а не просто наблюдать манипуляции учителя с моделями, к которым чаще всего сводиться “наглядность” при изучении дробей. По карточке учащимся приходиться отвечать на следующие вопросы:
Какая часть фигуры (всего в каждой карточке по восемь фигур самых разнообразных сочетаний) закрашена штриховкой определенного вида?
Какая часть фигуры закрашена штриховкой обоих видов? (этот вопрос подводит учащихся к сложению дробей)
Какая часть фигуры осталась без штриховки? (здесь фактически требуется вычесть правильную дробь из единицы) Приложение 1
Таким образом, приведенные карточки позволяют при изучении математики обращаться к природе вещей, находить возможность включения ребенка в практическую деятельность, в процессе которой у него формируются образы, помогающие осваивать изучаемые абстракции.
Неоценимую практическую пользу при изучении данного вопроса приносит работа с учебным электронным изданием “Математика 5-11” издательства “Дрофа” (глава “Числа и вычисления”, раздел “Доли и дроби”). Работа с данным изданием позволяет ускорить процесс построения квадрата и круга, разбить его на нужное количество частей, закрасить цветом определённое число частей. Ряд упражнений позволяет закрепить представление о дроби, как о числе. Дополнительно можно составить свои упражнения, также предложить учащимся составить свои задачи по данной теме. Важно, чтобы учащиеся усвоили прочно, что означают числитель и знаменатель дроби, тогда дробь для них не будет чем-то абстрактным, а приобретет реальный смысл.
Большой практический интерес представляет изучение процентов. Каждому в повседневной жизни приходилось сталкиваться с решением задач на проценты. Вызывает недоумение ситуация, когда учитель с высшим образованием затрудняется определить процент качества знаний учащихся по своему предмету. А ведь это одна из самых простых задач на проценты. В чём же кроется причина такого математического невежества?
Основные знания о процентах и навыки решения задач на данную тему учащиеся получают в 5-6 классах, в дальнейшем в курсе алгебры лишь изредка встречаются задачи, включающие вычисление процентов от числа. Поэтому очень важно показать, как различные задачи на проценты применяются в разнообразных сферах деятельности человека. Это лишний раз убеждает ребят в необходимости математических знаний для людей самых разных профессий.
Углубляясь в научность математических знаний, школьный курс математики всё дальше уходит от практической их ценности. Не удивительно, что для многих учащихся математика стала предметом абстрактным, абсолютно оторванным от жизни. Результат: большинство учащихся не только не усваивают сложные математические понятия, но и затрудняются в простейших математических операциях.
Наиболее действенными являются интеллектуальные и практические навыки, которые лучше формируются у учащихся при использовании репродуктивного метода.
В случае использования учителем метода проблемного обучения структура и форма учебного материала может иметь такой вид:
демонстрация объекта изучения;
формулировка вместе с учащимися задачной ситуации, определение набора и последовательности операций;
рассмотрение предметной ситуации с объективной характеристикой обеспечения действия.
Например, на уроке математики в 5 классе по теме “Площади” названная структура может быть реализована следующим образом: учитель напоминает учащимся, что они уже знают об измерении площадей геометрических фигур из начальной школы, демонстрирует различные по форме и площади геометрические фигуры; обращает внимание на смысл понятия “площадь” и предлагает им изобрести способы и единицы её измерения; учащиеся производят измерение площади конкретной фигуры. В заключение решаются стандартные задачи из учебника на нахождение площадей.
Практически доступной и интересной для всех, без исключения, учащихся является работа по изготовлению моделей, наглядных пособий. При этом наглядные пособия можно разделить на два вида:
пособия, с помощью которых изучается новый материал, например, теорема зависимости длины хорды от её расстояния от центра окружности;
модели, которые позволяют реализовать на практике изученные теоретические вопросы. Например, изготовление центроискателя после изучения темы “Окружность”, используя теорему о диаметре, перпендикулярном к хорде или свойства касательных, поведённых к окружности из одной точки (по группам).
Задания практического характера способствуют активизации мысли, убеждают учащихся в необходимости математических знаний.
При введении числа 
учащимся полезно
предложить следующую практическую работу.
Практическая работа “Значение числа ”
Сравнивая полученные результаты, учащиеся
делают вывод о том, что отношения получаются
приблизительно одинаковые. Так, выполняя
практическое задание, учащиеся находят
приближённое значение числа , теперь они знают, что
конкретно выражает это число, им легче будет
запомнить его приближённое значение.
Практическая работа “Сумма углов
треугольника”
Практическая работа “Сумма углов многоугольника”
- Постройте произвольный пятиугольник.
- Найдите измерением сумму его углов.
- Сравните результат с результатами товарищей. Сделайте вывод.
- Постройте произвольный шестиугольник.
- Найдите измерением сумму его углов.
- Сравните результат с результатами товарищей. Сделайте вывод.
При выполнении подобных практических работ возникает проблема: случайность или закономерность, что полученные суммы у всех учащихся примерно одинаковы? Как доказать, что результаты не случайны?
Интересны и полезны практические работы на вычисление площадей различных фигур, особенно комбинированных, где учащийся сначала должен обдумать, на какие фигуры следует разбить данную. Особый интерес для ребят представляют фигуры необычной геометрической формы, при разрезании которых и другом сложении получается фигура, площадь которой легко найти по формуле.
Одним из эффективных средств развития технического мышления учащихся может выступать опытное обоснование геометрических формул, изучаемых в школе. Обращение на уроке геометрии к эксперименту способствует формированию у учащихся общих конструктивных умений, составляющей практическую сметку, которая нужна и в строительстве и в технике, и в сельском хозяйстве, и в быту. В настоящее время при обучении геометрии основное внимание в школе обращают на воспитание у учащихся логической культуры, не видя возможности и необходимости специально заниматься формированием навыков практического конструирования. Приоритет логического аспекта в изложении геометрии ведёт к тому, что многие научные факты учащиеся усваивают формально, без интереса, не вникая глубоко в суть дела. Чрезмерное увлечение формально-логическими методами выглядит особенно навязчивым, когда изучаются формулы для вычисления площадей и объёмов геометрических фигур. Этот материал даёт возможность эффектно применять методику “открытия” с помощью опытного открытия некоторых геометрических фактов. Реализация этой методики проходит следующие этапы:
- Учащимся предлагается прикладная задача, для решения которой известных теоретических сведений им не хватает. Им необходимо самим установить, какие данные следует найти.
- Учащиеся проводят практическую работу, в ходе которой устанавливают необходимые данные, выявляют закономерности и выражают их с помощью формул.
- Полученная формула снова проверяется опытом, и, если он не подсказывает явных опровержений, начинается способ логического обоснования полученной формулы.
- Общий вывод, подтвержденный логически, применяется к решению исходной прикладной задачи. Приложение 2
На завершающем этапе работы над темой для систематизации знаний учащихся и организации их комплексного применения на практике определённую пользу может принести практическая работа, связанная с измерениями и вычислениями. Например, практическую работу по теме “Решение треугольников” можно провести одним из следующих способов.
1.Практическая работа проводится в классе, но с предварительной подготовкой учащихся, включающей постановку задачи, повторение необходимой теории, а также подготовку материалов и оборудования. Домашнее задание, предшествующее практической работе, заключается в том, чтобы найти предмет домашнего обихода, по которому можно составить задачу по изучаемой теме (например, часы, конверт, формочки для печенья), на отдельном листе записать название этого предмета и вопрос к задаче, а также принести необходимые измерительные приборы (линейка, циркуль, транспортир). На уроке ученикам предлагается произвести обмен предметами, составить задачу по указанному вопросу. Можно подсказать учащимся, что для этого нужно узнать, какие данные должны быть известны для того, чтобы ответить, произвести необходимые измерения и вычисления, оформить решение задачи. После того, как задача решена, можно предложить ребятам составить новый вопрос к этой модели и опять произвести обмен предметами. Ребята будут активнее, если ввести элемент соревновательности.
2. Практическая работа выполняется дома, а в классе поводится проверка её результатов. Учащимся предлагается дома вырезать из бумаги любой треугольник, измерить его стороны и углы, записать эти данные на отдельном листе. По этим данным составить одну из возможных задач о решении треугольника, привести план решения и само решение. Лист и модель треугольника вложить в отдельный конверт, который принести на урок. Проверку результатов можно организовать в форме взаимного рецензирования. Для внесения элементов игры в этот процесс можно предложить ребятам пометить конверт личным шифром и на уроке устроить лотерею – кому какой конверт достанется. Получив конверт, учащиеся на отдельном листе составляют рецензию на работу по следующему плану:
- Правильность модели (её соответствие требованиям и описанию);
- Правильность проведённых измерений;
- Корректность составленной задачи;
- Правильность решения;
- Рациональность решения.
Рецензенту также предлагается по данной модели составить вторую задачу, аналогичную авторской, если рецензия содержала замечания, или новую, если рецензия была положительной. Затем производится обмен конвертами для анализа рецензии и решения предложенной задачи.
3. Практические работы с использованием специальных приборов (астролябии, теодолита, экера и др.) Содержание таких работ связано с определением высоты какого-либо предмета, когда непосредственное измерение затруднено, с определением расстояния до недоступной точки и т. д. Такие практические работы можно провести как в классе, так и на местности. Такие практические работы помогают в вопросе профориентации, так как по ходу можно ознакомить учащихся с профессией геодезиста, маркшейдера.
На уроках, проходящих в классе, бывает трудно преодолеть умозрительность, оторванность от жизни. Ученику необходимо увидеть, потрогать предметы, о которых им что-то сообщает задача. Ребятам очень важно произвести самим измерения на местности, проделать расчёты, требующиеся в хозяйстве, в повседневной жизни. Эти практические запросы учащихся вполне может удовлетворить урок-игра на местности.
Перед началом каждой команде выдаётся маршрутный лист, в котором указана последовательность прохождения станций маршрута. На каждой станции учащимся вручаются задания, которые они должны выполнить и отдать на проверку контролёрам. После выполнения практических заданий в маршрутном листе ставится оценка. Победившей считается команда, набравшая наибольшее количество баллов и показала меньшее время прохождения маршрута.
В настоящее время огромный практический интерес у учащихся вызывает работа над компьютерными проектами по той или иной теме. Ценность такой формы работы в том, что для создания проекта необходимо:
найти как можно больше материала по данной теме;
отобрать главное и самое интересное;
показать практическое применение знаний по данной теме.
Работая над проектом, учащиеся не только овладевают навыками самостоятельного освоения знаний по определённой теме, но и овладевают практическими навыками работы с различными источниками информации, находят объекты практического приложения усвоенных знаний. Приложение 3
Литература.
В статье использовались статьи журнала “Математика в школе” разных лет следующих авторов: Тарасенкова Н.А., Цукарь А.Я., Четина Т. П., Файзулаев А.