Тема урока: "Решение тригонометрических уравнений"

Цели:

Образовательная – способствовать формированию навыков решения тригонометрических уравнений различными методами, рассмотреть другие методы решения.

Развивающая – развивать мыслительные навыки: анализа, сравнения, память учащихся, умение пользоваться дополнительной литературой; развивать математическую речь, логику рассуждений, навыки самоконтроля.

Воспитательная – воспитывать умение слушать товарищей, корректность в ведении дискуссии, аккуратность, культуру поведения.

Формирование общеучебных умений: пользоваться доской, организовывать себя на работу, пользоваться умением самопроверки.

Тип урока: урок практикум.

Оборудование: Карточки с названиями методов; плакат и раздаточные карточки с тригонометрическими уравнениями; карточки с тестом; таблицы; доска; дополнительная литература; (карточки с индивидуальной практической работой).

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация опорных знаний:

- устная работа;
- работа с тестом.

4. Работа в группах.

5. Изучение нового метода решения.

6. Разные способы решения одного уравнения.

7. Самостоятельная работа (если осталось время).

8. Домашнее задание.

9. Рефлексия.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Задачи: подготовить учащихся к работе на уроке.

Записать дату и тему урока.

Учащиеся вместе с учителем проговаривают цели урока.

Учитель делает психологическую установку: – на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться; – дать самому себе установку “понять и быть тем первым, который увидит ход решения”.

2. Проверка домашнего задания.

Задачи: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися.

Консультанты подают учителю сведения о наличии и выполнении учащимися домашнего задания.

Учитель предлагает из домашней работы проверить решение двух уравнений, где заранее задумана ошибка в решении.

В ходе проверки учащиеся должны найти ошибку и аргументировать правильное решение.

1) Решить уравнение.

3. Актуализация опорных знаний.

Задачи: направлена на актуализацию знаний учащихся по вопросам: решение простейших тригонометрических уравнений; свойства тригонометрических функций; формулы суммы и разности.

1) устная работа:

- найти корни уравнений: sinx = 1, tgx = 1, tgx = 0, cosx = 0;

- указать область определения функции: y = cosx, y = tgx;

- указать область значений функции: y = sinx, y = tgx;

- представить в виде произведения: sinx + sin2x, cos5x + cos3x.

2) индивидуальная работа с выбором ответа (с взаимопроверкой и самооценкой):

Учащиеся после взаимопроверки отмечают количество правильных ответов.

Код к проверке теста.

4. Работа в группах.

Задачи: систематизировать, обобщить знания об изученных методах тригонометрических уравнений; закрепить навыки классификации тригонометрических уравнений по методам; изучить два новых метода решения.

Учитель предлагает назвать изученные ранее методы решения тригонометрических уравнений.

Учащиеся перечисляют методы, а учитель крепит приготовленные карточки с названиями.

1. Уравнения, сводимые к квадратному;

2. однородные и приводимые к ним;

3. метод дополнительного угла;

4. уравнения, решаемые разложением на множители.

Далее учитель предлагает учащимся по группам выбрать из предложенного перечня уравнений по два и решить заданным методом.

1 группа – уравнения, сводимые к квадратному.

2 группа – однородные и приводимые к ним.

3 группа – метод дополнительного угла.

4 группа – уравнения, решаемые разложением на множители.

Учащиеся, выполнившие задание группы, могут решать уравнения любым другим методом (индивидуально).

5 группа (сильные учащиеся) – решают уравнения методом подстановки:

t = sinx + cosx (или t = sinx - cosx), sinxcosx = (t² - 1) (или sinxcosx = (1 - t²) (изучение этого способа было индивидуальным заданием).

По окончанию работы в группах проводится классификация уравнений по методам и один ученик из группы выходит к доске и оформляет решение любого из двух уравнений с кратким описанием алгоритма решения используемого метода. (Решение уравнения 5 группы учащиеся заносят в тетрадь).

5. Разные способы решения одного уравнения.

Задачи: обратить внимание учащихся, что существуют уравнения, решаемые не одним методом и привести еще один из методов его решения – метод универсальной подстановки.

Уравнение sinx + cosx = 1 решим с помощью универсальной подстановки для sinx и cosx:

Sinx = cosx = , где tg= d. 

Обращение к функции tg предполагает, что cos  0, т.е. x 2n, n Z.

При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, nZ. Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения, поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, nZ решениями данного уравнения.

Решением уравнения не является и переход к функции tg, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:

Продолжить ход решения может учащийся.

Учащиеся делают записи в тетрадь.

На следующем уроке продолжить закреплять изученные сегодня способы решения.

6. Самостоятельная работа (если останется время).

Задачи: проверить степень усвоения материала, выявить пробелы в знаниях учащихся.

Учащимся на выбор по уровню сложности предлагается выбрать одно уравнение и решить одним из шести изученных методов.

Работа выполняется на листочках и сдается учителю.

7. Подведение итогов.

Задачи: акцентрировать внимание учащихся на основных этапах урока.

- Повторили решение простейших тригонометрических уравнений, свойства тригонометрических функций;

- применили ранее изученные методы при решении более сложных тригонометрических уравнений;

- изучили два новых метода решения тригонометрических уравнений.

Учащимся выставляются оценки.

8. Домашнее задание.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание и дать краткий инструктаж.

1. Найти, с помощью дополнительной литературы, 6 уравнений на каждый из изученных способов и решить их.

2. Вернемся к перечню уравнений, которые мы использовали при классификации, здесь осталось одно не решенное уравнение, т.е. мы не смогли к нему применить ни один из изученных нами методов. Пожалуйста, постарайтесь найти способ решения этого уравнения.

Работы сдаются на следующий урок в тетрадках для домашних контрольных работ.

9. Рефлексия.

Задачи: определить уровень успешности данного урока.

Учащиеся на листочках делают оценку:

- уроку;
- своей работе на уроке.

И напоследок притча:

“Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному дверному замку. Кто откроет, тот и будет первым помощником. Никто не притронулся даже к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ. Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку.”