Исследование уравнения a sin x + b cox x = c

Цели урока:

1) образовательная – изучение различных способов решения уравнения типа a sin x + b cos x = с.

2) развивающая – создание благоприятных условий для развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся через исследовательский подход к изучению нового материала; способствовать развитию самостоятельности, способности видеть проблему, анализировать, обобщать, делать выводы, ясно и четко излагать свои мысли.

3) воспитательная – привитие интереса к предмету, формирование умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

1) Фронтальная работа по вопросам:

- Запишите формулы для преобразования выражения a sin x + b cos x.

(a sin x + b cos x = с sin (x + t), где

К какому виду еще можно преобразовать выражение a sin x + b cos x?

Что при этом изменится? Запишите.

тогда a sin x + b cos x = с cos (x + t))

Преобразуйте выражения по данным формулам:

5 sin х – 12 cos x
8 sin x + 6 cos x
4 sin x + 3 cos x

2) Решите уравнение sin x + cos x = 0 и sin x+ cos x =2.

В виде фронтальной беседы проанализировать тип каждого уравнения и способы их решения. Решение самостоятельное с проверкой у доски (у доски, так же самостоятельно, работают 2 ученика).

2. Изучение нового материала.

Изучение нового материала проводится в виде исследовательской работы по схеме, которая кратко записана на доске:

1. Решите уравнение 3 sin x – 2 cos x = 2, сведя его левую часть к виду с sin (x + t).
2. Решите уравнение п.1., используя «универсальную подстановку».
3. Решите уравнение п.1., сведя его к однородному.
4. Проанализируйте достоинства и недостатки каждого способа.
5. Выведите алгоритмы решения уравнения a sin x + b cos x = с.

Исследование состоит из трех этапов:

При обсуждении приведения уравнения к однородному, как правило, обязательно поступает предложение возвести обе части данного уравнения в квадрат. Можно дать группе учащихся такое задание.

2. Самостоятельная или групповая работа.

Класс делится на три (или четыре, если Вы решите рассмотреть возведение в квадрат обеих частей уравнения) части для решения п.1., п.2. и п.3 плана соответственно.

(Второй корень при решении может быть потерян, поэтому необходимо подробно обратить на это внимание при анализе).

3) Проверка, анализ, выводы.

Обратите внимание учащихся на то, что корни одного и того же уравнения внешне отличаются. В тригонометрии это бывает нередко. Конечно, эти ответы совпадают, т. е. разными способами задаются одинаковые множества чисел.

Обратите особое внимание на «универсальную подстановку». Необходимо всегда проверять, являются ли числа вида корнями данного уравнения. Если забыть это сделать, то может произойти потеря корня (возможно, на уроке это и произойдет).

При анализе решения уравнения путем возведения в квадрат обеих частей, надо обязательно подчеркнуть, что это очень плохой способ.

При решении уравнения таким способом можно получить посторонние корни ( в данном случае это видно в записи х₁). Выявление таких корней ( в данном случае – анализ х₂) порой бывает сложнее решения самого уравнения. Поэтому решать уравнения вида a sin x + b cos x = с таким способом не рекомендуется.

При выводе алгоритма, каждая группа должна четко проговорить все шаги решения в общем виде для уравнения a sin x + b cos x = с.

Для закрепления можно предложить обучающую самостоятельную работу.

Вариант 1.

1. cos х – sin х = 2;
2. 3 cos х + 4 sin х = 5;
3. 6 cos х + 8 sin х = 5;
4. * 5(5 cos х + 12 sin х) = 13(3 cos 2х + 4 sin2х).

Вариант 2.

1. cos х + sin х = 2;
2. 7 cos х + 24 sin х = 25;
3. 2 sin х + 5 cos х = –2
4. * 5(3 cos х – 4 sin х) = 7 cos х – 24 sin х.

4. Домашнее задание. По задачнику «Алгебра и начала анализа 10 – 11» А. Г. Мордковича.