Урок математики в 9-м классе по теме: "Прогрессии"

Цель: приобщить ребят к решению нестандартных задач, показать наиболее интересные способы решений.

Ход урока.

I. Вводная беседа.

Нестандартные – это задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и понятий, определяющих точную программу их решения.

Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, нет, т.к. эти задачи в какой-то степени неповторимы.

В процессе решения задач коснемся спортивной темы. Покажем, как алгебраическими методами решить геометрическую задачу.

Дальнейшее изучение темы «Последовательности» будет в 10 классе, где познакомитесь с понятием предела, докажите его единственность, научитесь находить предел последовательности.

II. Повторение изученного ранее материала.

Мы говорим о различных способах задания последовательности.

Какие способы задания последовательности вы знаете?

а) формулой п-ого члена;

б) рекуррентно;

в) словесно.

Вопрос: Как геометрически изобразить последовательность?

Ученик: Т.к. последовательность – это функция, заданная на множество натуральных чисел, то изобразим график этой функции.

III. Математический диктант (используется копирка).

1. Конечна или бесконечна последовательность чисел.

I в.

кратных числу 150

(Ответ: бесконечна).

II в.

делителей числа 150

(Ответ: конечна).

2. Последовательность задана рекуррентной формулой

I в.

а_п+1 = а_п – 4, а₁ = 5

Найти: а₂

(Ответ: а₂ = 1)

II в.

а_п+1 = 5 + а_п , а₁ = 5

Найти: а₂

(Ответ: а₂ = 10)

3. Является ли членом последовательности

I в.

а_п = 2^п

число 5341 (Ответ: нет)

II в.

а_п = 3^п

число 1122

(Ответ: нет)

4. Чему равна сумма к-членов геометрической прогрессии, если знаменатель прогрессии равен 1? (Ответ: не существует).

5. Какое число нужно вписать в пустой сектор? (Ответ: 65).

IV. Решение задач (по карточкам).

Каждый получает карточку с задачами. (Обдумывают, начинают решать самостоятельно.)

В это время ученица выходит к доске объяснить задачу, которая была предложена на дом.

Её способ решения был наиболее удачным.

Задача: Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найти углы треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны а, а+d, а+2d. Согласно условию задачи, тогда

Решение задачи 1 (по карточке).

Ученик выходит к доске.

В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получает штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, а за каждый последующий – на 1/2 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных.

Решение:

1) составим последовательность, представляющую собой арифметическую прогрессию.

1, 1+1/2, 2 ……. , где а₁=1, d=1/2, S_n =7.

Найти: п – количество членов последовательности, а по условию задачи найти количество промахов.

2) 25-п = 21 (раз) Ответ: 21 раз.

Вопросы к задаче:

1. Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи?
2. Были ли промахи у стрелка?
3. Какова зависимость между промахами и штрафными очками?

Решение задачи 2 (по карточке).

Задание 2. Решить уравнение

(х² + х + 1) + (х² + 2х + 3) + (х² + 3х + 5) … (х² + 20х + 39) = 4500

Решение.

Предложили 2 способа решения.

I способ.

Слагаемые, стоящие в левой части уравнения, образуют арифметическую прогрессию с разностью d=х+2 а₁ = (х² + х +1),

п = 20 - число нечетных чисел в последовательности.

1, 2, 3, … 39

S₂₀ = (x² + x + 1) + (x² + 20x +39) * 10

2x² + 21x + 40 = 450 ,

x₁ = 10; х₂=-20,5

Ответ: х₁=10; х₂=-20,5.

II способ.

1) S₁ = 20x²

S₂ = x + 2x + 3x + …. 20x = (x + 20x) * 10

S₃ = (1+39)/2 * 20 = 400

S_{1 +} S₂ + S₃ = 2x² + 21x – 410 = 0

2x² + 21x – 410 = 0

х₁=10; х₂=-20,5

Ответ: х₁=10; х₂=-20,5.

Решение задачи 3 (по карточке).

Задача 3. Доказать, что, если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты образуют геометрическую прогрессию.

Решение:

Пусть стороны треугольника a₁ , a₁g , a₁g²

V.Сообщение ученика о числовых рядах.

В теоретических исследованиях и вычислительной практике находят широкое применение числовые ряды.

Что это такое?

Пусть задана последовательность . Тогда последовательность S_n = a₁ + a₂ +a₃ + … a_n называется числовым рядом и обозначается

Тригонометрические функции sin х , cos х можно записать в виде суммы сменных рядов или разложить в ряд.

х – радианная мера угла.

VI. Итоги урока.

VII. Домашнее задание:

По учебнику “Алгебра 9 класс”. Автор Алимов.

1. №481**, 482**, 483**;
2. Подобрать интересные задачи на прогрессии.