Урок-лекция по теме: "Виды логарифмических уравнений и методы их решения"

Разделы: Математика

Форма урока: лекция.

Цель урока: рассмотреть виды логарифмических уравнений и методы их решения.

План урока:

I. Устный опрос по теории логарифмов.

II. Объяснение новой темы.

I. Устный опрос.

  1. Дайте определение логарифма числа.
  2. Сформулируйте свойство “Логарифм произведения”.
  3. Сформулируйте свойство “Логарифм частного”.
  4. Запишите формулу “Логарифм степени”.
  5. Запишите формулу перехода от одного основания логарифма к другому.
  6. Что называется уравнением?
  7. Что называется корнем уравнения?
  8. Что значит решить уравнение?

Ход урока

Учитель:

I. Рассмотрим равенство logab=c.

Это равенство устанавливает связь между тремя числами a,b,c. Сколько уравнений можно составить, используя это равенство?

1) b = x, logax = c 2) a =x, logxb = c 3) c = x
a>0, a =1 x>0, x = 1 logab = x
x = ac xc = b a – неизвестное число
x =c\/-b---  

Примеры:

log4x = 3 logx5 = 2 logx5 = 0
x =64; x2 = 5 x0 = 5, нет решения.
  x = 5;-5  
  но (-5)-не корень  

Уравнения №1 и №2 называются простейшими логарифмическими уравнениями. Сколько решений имеют эти простейшие уравнения? (Единственное решение при любом с)

II. Рассмотрим другие виды уравнений и способы их решения.

Виды уравнений

Способы решения

Примеры
1)loga f(x) = g(x)

a>0, a 1, f(x)>0.

Функционально-графический. Основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций (чаще всего свойств монотонности). 1) lgx = 1-x

y = lgx- возрастающая на D(y)

y= 1-x - убывающая

Уравнение имеет один корень х = 1

Дома: Сколько корней имеет уравнение:

lg x = sinx (6 корней)
2)logaf(x)=b

a>0, a1.

По определению логарифма имеем f(x) = ab. log3(2x+1)=2
3)loga f(x) = logag(x)a>0,a 1. Уравнение равносильно системе:

Почему достаточно проверить одно неравенство из двух?

Например, можно опустить неравенство g(x)>0, т.к. оно вытекает из равенства f(x)=g(x) и неравенства f(x)>0

Таким образом, для решения уравнения нужно:

1) pешить уравнение f(x)=g(x);

2) из найденных решений отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f(x)>0 ( или g(x)>0; используя более простое из этих двух неравенств), а остальные решения отбросить.

 log3(x2-3) = log32x

Решение:

Ответ:3

Дома:

log2(x2-3x-5) = log2 (7-2x)
4) loga f(x)+logag(x)=b

a>0, a1.

 Воспользуемся формулой logaf(x)+logag(x)=loga(f(x)g(x)). Но это преобразование может привести к появлению посторонних корней. Действительно f(x)g(x)>0, когда f(x)<0 и g(x)<0, но логарифмы определены для тех значeний х, при которых f(x)>0 и g(x)>0. Поэтому, уравнение равносильно системе:

I способ:

II Способ.

  1. Свести уравнение к виду loga(f(x)g(x)) = b.
  2. Решить уравнение f(x)g(x) = ab.

    3. 3) Сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

 lg(x+4)+lg(2x+3)= lg(1+2x)

Дома:

log5(3x-11)+log5(x-27)= =3+log58
5) logaf(x)-logag(x)=b

a>0,a 1.

 I Способ. Воспользоваться равенством logaf(x)-logag(x) =loga(f(x)/g(x)).Уравнение преобразуется к виду loga(f(x)/g(x))= b.Может ли это преобразование привести к появлению посторонних корней? Решить уравнене f(x)/g(x)= ab и сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

II.Способ.Уравнение равносильно системе:

Решить уравнение системы и отобрать те корни, для которых выполняются неравенства.

III.Способ. Перейти от исходного уравнения к виду logaf(x)=b+logag(x)

logaf(x)=logaab+logag(x)

logaf(x)=loga(abg(x)).Решить уравнение и сделать проверку

 lg(x-1)-lg(2x-11)=lg2

Дома: lg(x2+19)-lg(x-8)=2
6) logaf(x)+logbg(x)=c

a>0, a1.

 При решении уравнения применяется формула logab=logcb/logca. Выбор основания должен быть таким, что бы переход к новому основанию не осложнил решения уравненя, но позволил бы избежать потери корней log 2xx=log 8/xx (к основанию 2) log2x/log22x = =log2x/log2(8/x); log2x(log2(8/x)-log22x)=0; x=1 , x=2;-2 - посторонний. Ответ: 1;2

Дома:

1+log2(x-1)=log(x-1)4
7) log2af(x)+logaf(x)=b

a>0, a1.

 I Способ. Ввести новую переменную logaf(x) = t и свести уравнение к квадратному: t2+t=b. Решить это уравнение и сделать проверку.

IIСпособ. Найти область определения уравнения. Решить уравнение с помощью введения новой переменной. Проверить, принадлежат ли найденные значения переменной области определения уравнения.

 (lgx)3-lgx3+2=0

Дома:

5log3x-9(log3x)0,5-2=0
8) f(x)k(x)=g(x)h(x) Найти ОДЗ уравнения. Логарифмировать обе части уравнения по выгодному основанию. Проверить принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения.

Этот способ применяется, когда невозможно уравнять основания степеней.

logaf(x)k(x)=logag(x)h(x)

a>0, a 1

(x+1)lg(x+1) =100(x+1)

ОДЗ: х>-1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

lg2(x+1)-lg(x+1) –2=0 – квадратное уравнение относительно lg(x+1). Решая его находим x1=99; x2= -0,9 .Оба корня удовлетворяют условию

x >-1.

Ответ: -0,9; 99

Дома:

Итог урока.

При решении уравнений нужно руководствоваться следующими правилами:

1) решать, находя ОДЗ уравнения, и проверять принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения;

2) решать, не учитывая ОДЗ уравнения, но в конце решения сделать проверку по отбору корней;

3) преобразования, допускающие потерю корней, лучше не использовать

Домашнее задание:

1) изучить лекцию;

2) решить уравнения, предложенные в лекции на дом.