Урок геометрии (сдвоенный) или факультативное занятие в 11 классе по теме: "Фигуры и тела вращения"

“Предмет математики настолько серьёзен,
что надо не упускать возможности
сделать его немного занимательным”.

Б.Паскаль.

Цели:

• научить применять знания при решении нестандартных задач, видеть в них простые составляющие;
• показать целостность и гармонию окружающего мира, взаимосвязь изучаемых предметов, взаимосвязь разделов математики, красоту математики;
• воспитывать чувство хозяина своей судьбы, воспитывать любовь к прекрасному.

Оборудование. модель к основной задаче – сфера с сечениями, выполненная из пяльцев для вышивания. Модели: цилиндр, конус, усечённый конус, шар. Бублик, яйцо, горн или труба, юла, луковица, свеча, глобус. Пластинки для сборки гиперболоида вращения. Портреты С.Ковалевской, Н.Лобачевского. Плакаты: “Тела и фигуры вращения”, об атласе Г.Меркатора, с высказыванием М.Монтеня, “Математика и история”. Рисунки башни радиостанции В. Г. Шухова, “седла”, псевдосферы Лобачевского, купола, юлы.

Кроссворды “Тела и фигуры вращения”, тексты с условием задачи.

План – конспект занятия.

1. Игровой момент перед занятием: разгадывание двух кроссвордов “Тела и фигуры вращения” по группам. Можно завершить в конце занятия, используя новые знания.

2. Эмоциональный настрой. Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.

3. Постановка задач, ознакомление с планом данного занятия.

4. Обзор учащегося “Математика и история” (полная информация – на плакате).

5. Сообщение о проекции Г.Меркатора, о его атласе. Поверхность шара и карта мира

6. Знания о сфере пришли из астрономии. Омар Хайям писал:

От земной глубины до далёких планет
Мирозданья загадкам нашёл я ответ.
От зенита Сатурна до чрева Земли
Тайны мира своё толкованье нашли.

7. Показать рисунок и модель “Седла” (пример криволинейной поверхности), рисунок Псевдосферы Лобачевского.

8. Работа с плакатом “Тела и фигуры вращения”, с моделями (цилиндр, конус, усечённый конус, шар).

9. Решение основной задачи.

10. Продолжаем работу с плакатом. Изучаем параболоид, эллипсоид, гиперболоид. Отвечаем на вопрос, при вращении какой кривой получается каждая из фигур.

11. Сообщение о башне радиостанции в Москве на Шаболовке.

12. Вопросы в стихотворной форме о торе и юле.

13. Красота и математика, гармония и духовность. Геометрия купола храма.

14. Проверка кроссвордов.

15. Области применение знаний о телах и фигурах вращения.

16. Сборка гиперболоида вращения. Пластмассовые пластинки детского конструктора.

17. Задание на дом: сочинить вопросы о телах вращения, стихи или кроссворды.

18. Подведение итогов.

“Тела и фигуры вращения”

Вопросы к кроссворду – 1

По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

Вопросы к кроссворду – 2

По горизонтали. 1. Фигура, полученная вращением параболы вокруг её оси. 2. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой. 3. Круг, являющийся элементом конуса, плоскость которого перпендикулярна оси конуса. 4. Музыкальный инструмент, часть которого напоминает Псевдосферу Лобачевского. 5. Отрезок, соединяющий две точки окружности.

По вертикали. 1. Фигура, полученная вращением гиперболы вокруг её оси. 2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 3. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. 4. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 5. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 6. Тело вращения, принцип движения которого описала великая русская женщина-математик. 7. Фигура, полученная вращением эллипса вокруг её оси.

Ответы к кроссворду - 1.

По горизонтали. 1. Круг. 2. Образующая. 3. Цилиндр. 4. Прямой. 5. тор.

По вертикали. 1. Конус. 2. Трапеция. 3. Купол. 4. Диаметр. 5. Шар. 6. Сфера. 7. Юла.

Ответы к кроссворду - 2.

По горизонтали. 1. Параболоид. 2. Радиус. 3. Основание. 4. Труба. 5. Хорда.

По вертикали. 1. Гиперболоид. 2. Высота. 3. Тор. 4. Шар. 5. Сфера. 6. Юла. 7. Эллипсоид.

Плакат “Математика и история”.

 

 

 

7. Показать рисунок и модель “Седла” - пример криволинейной поверхности

Псевдосфера Лобачевского – пример поверхности постоянной отрицательной кривизны, фигура вращения трактрисы вокруг оси.

Геометрически трактриса характеризуется тем, что отрезок касательной к ней, заключённый между точкой касания и осью ординат, сохраняет постоянную длину.

8. Работа с плакатом “Тела и фигуры вращения”. Изучаем основные тела. Рассматриваем модели.

 

“Мозг, хорошо устроенный, стоит
больше, чем мозг, хорошо наполненный”

М. Монтень.

9. Основная задача занятия.

Через хорду шара радиуса R проведены два равных сечения, полуплоскости которых образуют двугранный угол 120 градусов, содержащий центр шара. Найдите площади этих сечений, если длина общей хорды 2R/3.

Дано:

О – центр шара радиуса R, АВ = – общая хорда сечений.

LP = CT – диаметры сечений, К – их центр.

Двугранный угол РАВТ содержит центр шара О.

РКТ = 120^o - линейный угол двугранного угла.

Найти: S_{сечений.}

Решение.

HD – диаметр шара, AB – хорда, ABHD;

треугольник AKO – прямоугольный. AB =; AK =; AO = R,

По теореме Пифагора:

. OKP = OKT = 120°: 2 =,

OM LP, тогда треугольник OMK – прямоугольный.

OM = OK х sin60^o =

треугольник OMP – прямоугольный, PM = ML = r _сеч.

r_сеч. = ,

S_сеч. = r=.

Ответ: S_сеч. = (Модель к задаче на фото 1 справа).

Чем больше радиус окружности, тем больше её длина. Аналогично, чем больше знает человек, тем более открывается перед ним непознанного.

Семьдесят два долгих года размышлял я дни и ночи.
Лишь теперь уразумел я, что не знаю ничего.

Омар Хайям

11. Сообщение о башне для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей - гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).

 

12. Один мы есть предпочитаем,
Другим – мы талию спасаем,
Третьим же мышцы подкачаем.
Четвёртым – транспорт подкуём,
И пятый – на воду бросаем.
А их геометрическую форму
Одним лишь, словом называем
Что это за слово?

Ответ: это тор.

Есть, предпочитаем бублик, спасаем талию обручем, мышцы подкачаем резиновым эспандером, транспорт подкуём камерами колёс, на воду бросаем спасательный круг.

Все эти предметы имеют форму тора.

Ещё вопрос:

Предмет имеет два названья,
Он близок вам, почти родной.
И вместе с ним пришло признанье
Прекрасной женщине одной.

Устойчивость его движенья
Хорошо все с детства знают.
Но та нашла ей объясненье,
Чьё имя мудрость означает.

- О чём идёт речь?

Ответ: юла или волчок. Это – тело вращения (показать игрушку и рис. 10).

Великая русская женщина-математик Софья Ковалевская решила вопрос “О движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки”. Речь шла о гироскопе, устроенном по принципу детского волчка, способного сохранять устойчивость движения.

13. Купол – тело вращения (рис. 11) “Луковичная” форма купола – не случайна, она напоминает горящую свечу.

 

В русском церковном искусстве проявилось стремление эстетику
чувств сочетать с эстетикой чисел, красоту свободно льющегося ритма
с красотой правильного геометрического тела.

М. В. Алпатов

Конечно, такая форма купола практична. Но красота и духовность в сочетании с целесообразностью рождают гармонию.

15. Знания о сфере и других телах вращения необходимы не только в астрономии, но и в технике, строительстве жилых домов, дворцов, храмов, куполов, в воздухоплавании на воздушных шарах и во многом другом. Они помогают познать красоту мира.

16. Сборка “седла”, гиперболоида вращения и Псевдосферы Лобачевского по группам. Надо соединять по семь пластинок в один “цветок”, затем “цветки” между собой. Получаются криволинейные поверхности (см. фото).

Для рациональности проверки - ответ к кроссвордам в другой форме:

ЛИТЕРАТУРА

1. Геометрия. Учебное пособие для 10 – 11 классов гуманитарного профиля. И. М.Смирнова, Москва “Просвещение”, 1997.
2. “Двадцать уроков гармонии”. Гуманитарно-математический курс. А.И.Азевич, Москва “Школа-Пресс”, 1998.
3. “Эстетика урока математики”. Пособие для учителей. И.Г.Зенкевич, Москва “Просвещение”, 1981.
4. “Омар Хайям – математик и поэт”. Т.Мишакова, Москва,  Газета “Математика” № 17, 1998. Изд. дом “Первое сентября”.
5. “Прекрасная женщина – великий математик” Л. Муштакова, Москва, Газета “Математика” № 9, 2003. Изд. дом “Первое сентября”.
6. Из истории открытия проекции Г. Меркатора. © “Школа-Пресс”. Ж. “Математика в школе” № 3, 1988.
7. “Развитие математики: этапы, проблемы, достижения”. Е.Волкова, О.Епишева, г. Тобольск. Газета “Математика” № 37, 1996. Изд. дом “Первое сентября”.
8. “ Математика и искусство” А. В. Волошинов, Москва, “Просвещение”, 2000.
9. Кроссворды и вопросы в стихотворной форме. Автор этой статьи Т.И.Завалишина.