Цели:
1) Повторить способы построения
многоугольников с уроков черчения и познакомить
с новыми способами.
2) Воспитывать у учащихся аккуратность, чувство
взаимопомощи.
3) Способствовать развитию познавательного
интереса к учебным предметам геометрии и
черчению.
4) Развивать мышление учащихся при решении задач,
выходящих за рамки школьного курса.
5) Развивать умение анализировать, сравнивать,
делать выводы.
6) Развивать память учащихся.
Оборудование:
для учителя - образцы
практического применения; таблица погрешностей.
для учащихся - формат А4; чертежные
инструменты.
Организационный момент.
Сегодня на уроке рассмотрим построение правильных многоугольников. Эта задача замечательна тем, что возникла в глубокой древности из практических потребностей людей в архитектуре и строительной технике.
Основная часть урока.
Учитель геометрии:
-Что надо знать для того, чтобы построить правильный многоугольник?
Ученик: Сторону и угол.
-Какую из величин можно задать произвольно?
Ученик: Сторону.
-Что можно сказать о величине угла?
Ученик: Его можно вычислить, применив теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.
-Найдём величину угла для правильного пятиугольника.
Ученик:
S=180(n-2) n=5
S=180(5-2)=540
Т.к. углы равны, то 540/5=108
-Какой инструмент необходим для построения?
Ученик: Транспортир.
(Учащиеся строят правильный пятиугольник на доске и в тетрадях.) Рисунок 1.
-Рассмотрим построение правильного пятиугольника через центральный угол a=360/n n=5 a=360/5=72 (Учащиеся строят правильный пятиугольник на доске и в тетрадях.) Рисунок 2.
В ходе беседы учащиеся приходят к выводу, что транспортир-это инструмент небольших размеров, поэтому не обеспечивает достаточной точности и удобств в работе.
-С чем связан последний способ?
Ученик: С окружностью.
Решая эту задачу, учёные пришли к выводу, что правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки. Хотя решения будут приближёнными (что вы и заметите), но с достаточно большой точностью. Значит, построение правильных многоугольников будет связано с окружностью.
-Следовательно какой многоугольник легче всего построить?
Ученик: Квадрат.
(У доски ученик объясняет построение квадрата. Рисунок 3.)
Ученик: Строим окружность произвольного радиуса. Проводим два перпендикулярных диаметра, затем последовательно соединяем их концы.
-Какая связь окружности и построенного правильного четырёхугольника?
Ученик: Квадрат вписан в окружность. Окружность разделили на четыре равные части.
Вывод: построить правильный многоугольник, значит разделить окружность на n равных частей.
Ученики предлагают построение правильного шестиугольника. Так как а6=R, то разделим окружность на шесть равных частей. Рисунок 4.
В Вавилоне считали, что окружность ровно в шесть раз длиннее радиуса L=6R.Точнее L=6 2/7R.
- Нельзя ли, используя этот рисунок, построить ещё какой-нибудь правильный n – угольник?
Ученик: Треугольник соединяя через вершину.
Используя этот рисунок, ученики строят правильный треугольник. Рисунок 5.
- Существует ещё один способ построения треугольника известный вам с уроков черчения.
Учитель черчения:
Если ученики не смогли вспомнить способ построения правильного треугольника BDC, учитель напоминает им. Рисунок 6.
Для построения треугольника проводят дугу ВС из точки А. Соединяем точки В и С хордой. А точки В и C с точкой Д.
Попутно решилась другая задача – деление окружности на 7 равных частей. Соединяя точки В и С хордой и беря ее половину GC, получают длину стороны правильного семиугольника.
Если радиусом GH сделать засечку на вертикальном диаметре в точке К, то хорда КН даст величину стороны правильного пятиугольника, а катет ОК определит длину стороны правильного десятиугольника.(Рисунок 7).
Учитель геометрии: Нельзя ли использовать построение многоугольника правильных n – угольников с большим числом сторон? (Если ученики не смогут ответить, то познакомить их с примером в учебнике геометрии на стр. 207. рисунок 286).
Ученики самостоятельно выполняют построение 12- угольника.(Рисунок 8)
Вывод: если в окружность вписать правильный n - угольник, то легко построить правильный вписанный 2n – угольник.
Учитель геометрии: Способы построения различны, хотя есть общее в построении 3- угольника, 5- угольника, 7- угольника. Практику нужен способ достаточно простой и общий для деления окружности на любое число равных дуг.
Рассмотрим общий способ построения на примере построения 9- угольника.
Возьмем R = 45 мм., треугольник АВС - равносторонний, разделим диаметр АВ точкой Д в отношении АД:АВ = 2:9 ( в общем случае АД:АВ=2:n).
Проведем СД, получим точку Е. Дуга АЕ=1:9L окружности. Отрезок АЕ- сторона правильного 9- угольника. Разделим окружность на 9 равных частей. Рисунок 9.
Посмотрим какова точность построения
| n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 20 | 60 |
| 360°/n | 120° | 90° | 72° | 60° | 51°26’ | 45° | 40° | 36° | 18° | 6° |
| Угол АОE | 120° | 90° | 71°57’ | 60° | 51°31’ | 45°11’ | 39°41’ | 36°21’ | 18°38’ | 6°26’ |
| Погрешносность,% | 0 | 0 | 0,07 | 0 | 0,17 | 0,41 | 0,8 | 0,97 | 3,5 | 7,2 |
Как видно из таблицы, указанным способом можно разделить окружность на 5, 7, 8, 9 или10 частей с небольшой относительной погрешностью от 0,07 до 1%
(Напомнить ученикам, что такое относительная погрешность и как её рассчитать.)
О.П = 
= 
= 
0,008 = 0,8%
Т.З-Пр.Зн.= 40°-39°41’=19’=19/60=0,32
Т.З=39°41’= 39 
=39,68
Такая погрешность вполне допустима в большинстве практических работ. С увеличением числа сторон точность способа заметно падает, т.е. относительная погрешность растет, но как показали исследования, при любом n она не превышает 10%.
И всё же существует единый способ построения правильного n-угольника, в основу которого положена известная вам теорема геометрии. После знакомства с этим способом вам необходимо назвать эту теорему.
Учитель черчения: Для построения многоугольника из 11 равных сторон проведем из точки А под острым углом к отрезку (диаметру) АВ, прямую линию. На ней циркулем-измерителем откладываем нужное число равных отрезков произвольной величины, в данном случае 11. Последнюю точку соединяем с точкой В. Из нечетных точек деления с помощью линейки и угольника проводим прямые, параллельные прямой 11В. Если провести через все точки, то поделим отрезок АВ на 11 равных частей.
Сейчас проведем дугу СД радиусом ВА до пересечения с горизонтальной осью. Из точек С и Д будем проводить через точки 1’, 3’,5’ и т.д. лучи до пересечения с окружностью. Соединяем полученные точки на окружности между собой, и таким образом, мы вписали в окружность правильный многоугольник. Рисунок 10.
Учитель геометрии: Какая теорема используется?
Ученик: Теорема Фалеса.
Учитель геометрии: Ещё в XV веке великий художник Леонардо да Винчи (14521519), занимался такими построениями. В 1888 году в журнале “Вестник опытной физики и элементарной математики” появилась статья Ф. Коваржика, где он предложил общий способ построения правильных многоугольников по данной стороне. (Рисунок 11)
Пусть АВ - сторона правильного n-угольника, который требуется построить. На АВ строим равносторонний треугольник АВС, из точки С опускаем перпендикуляр СД на АВ и продолжаем его. Затем делим АВ 6 равных частей и такие части откладываем на СД по обе стороны от С. Точки деления являются центрами окружностей, описанных около искомых многоугольников. Перенумеровав эти точки, как показано на рисунке, получим, что А7-радиус, описанной около семиугольника, сторона которого равна АВ. Для шестиугольника и двенадцатиугольника такое построение дает точный результат. Для других значений n предложенное построение обладает достаточно высокой точностью.
Ученики строят правильный 7-угольник, используя данный способ. (Рисунок 12).
Приближенные способы построения правильных многоугольников просты и удобны в практике, красивы и орнаментальны. Они применяются в архитектуре, живописи, народном творчестве, декоре, промышленности, быту; необходимые конструктору, строителю, радиолюбителю, художнику. Демонстрируем архитектурные сооружения, разделочные доски, репродукции с изображением доспехов русских воинов.
Задание по вариантам: Построить правильный 10-угольник и 12-угольник.
Итог урока.
ЛИТЕРАТУРА
А. Д. Ботвинников. Черчение 7-8 кл. Москва.
Астрель. АСТ 2002.
А. В. Погорелов. Геометрия 7-11 кл.
Общеобразовательных учреждений 6-е изд. Москва.
Просвещение 1996.
Я. И. Перельман. Занимательная геометрия, - Москва
АО “Столетие” 1994.
С. В. Розов. Курс черчения. Москва
“Машиностроение”, 1974.