Конструкции из интегралов

Разделы: Математика


В методической литературе всё чаще задаются вопросом: “Нужно ли изучать в школе интегралы?” На что с уверенностью можно ответить: “Конечно же!” И дело здесь не в том, что интегральное исчисление возникает раньше дифференциального в истории науки (а этот факт должен быть обязательно учтён при построении школьного материала), а скорее в том, что интегралы могут выступать не как самоцель, а как аппарат для закрепления базового материала.

Часто при изучении интегрального исчисления в школе рассматриваются лишь основные моменты данного раздела: нахождение первообразных функции, вычисление определённых интегралов, отыскание площадей плоских фигур и объёмов тел вращения. Да, мы не спорим, что данные вопросы являются базовыми и необходимыми, ведь именно они раскрывают основную суть процесса интегрирования, но где же творческий подход в обучении математике? Где он?

Именно на эти и другие возникающие вопросы мы постараемся ответить в своей статье.

Порой мы просто-напросто ограничиваем тему "Интеграл" учебников и делаем её недоступной для другого математического материала, входящего в рамки школьной программы. Многие из учителей забывают, что, используя несложные конструкции, содержащие определённые интегралы, можно составить прекрасные уравнения, неравенства, их системы, различные задачи с параметрами, решение которых вызовет лишь положительное одобрение со стороны школьников. И это действительно так. Решая достаточно большое количество стандартизованных задач, учащиеся вскоре приходят к усталости, усталости решать "одно и тоже". В этот момент "мозговой штурм" сменяется "мозговым спадом", что на наш взгляд, не хотел бы наблюдать на своём уроке каждый учитель. И вот тогда на помощь могут прийти всё те же конструкции. Благодаря им, учащиеся будут стремиться вычислить не только сам интеграл, но и применить полученные в ходе вычисления результаты к решению конкретной задачи, которая в свою очередь вызовет интерес у школьников. Таким образом, нам удастся восстановить атмосферу сотрудничества на уроке и локализовать "штурм" в каждом из учеников.

Составляя конструкции, мы сможем осуществить внутриматематическое моделирование, которое позволит доказать учащимся то, что тема "Интеграл" не существует сама по себе, автономно, а великолепно и в полном объёме используется при решении задач ранее изученных тем.

Также одним из существенных моментов при решении задач, содержащих конструкции, является то, что учащиеся сталкиваются с тем, что в пределах интегрирования появляются переменные (до этого были лишь постоянные), для которых чаще всего приходится проводить анализ и находить их ОДЗ. Ведь вне ОДЗ многие определённые интегралы не вычислимы, тогда мы сталкиваемся с несобственными интегралами, решение которых не предусматривается школьной программой. Поэтому при составлении любых конструкций данный факт должен обязательно учитываться. Именно анализ заставляет учащихся сомневаться, делает процесс вычисления познавательным и привлекает к себе класс.

Заинтересованный ученик всегда активен. Он стремится решить, понять, осознать. Поддержание данного стремления – основная задача учителя, его мастерство и профессионализм.

В нашей статье мы приводим примеры некоторых из конструкций, которые могут быть использованы в конкретных ситуациях. К каждому заданию прилагается по два варианта с решениями.

I. Решить уравнения.

А) ,

Решение. Вычислим интеграл:.

Тогда . Решая полученное уравнение, находим, что x = 0, x = + 1, x = – 2.

Ответ: – 2, – 1, 0, 1.

Следует отметить, что в данном задании ничего не потребовалось, кроме техники нахождения простейших интегралов и решения уравнения, в том числе кубического.

Б) .

Решение. (В силу того, что интеграл неопределён при , то подобные точки выколоты из области задания). Вычислим значение интеграла:

.

Для удобства проведём вычисления по отдельности:,

.

Приравнивая левую и правую часть равенства, получим:. Решая полученное тригонометрическое уравнение, имеем , где .

Но так как (по условию), то подбором устанавливаем, что .

Ответ: .

В данном задании учащимся приходится проводить исследовательскую работу с целью нахождения ОДЗ, решением тригонометрического уравнения, отбором корней. Здесь же они сталкиваются с вычислением нетабличного интеграла, для решения которого применяется подстановка, с которой многие учителя сталкиваются в своей преподавательской практике. Только правильный выбор подстановки и её использование приведёт к желаемому результату.

II. Решить неравенства.

А) ,

Решение. Вычислим определённый интеграл:

.

Тогда .Приравняем многочлен, стоящий в левой части к нулю и находим корни уравнения . Откуда . Методом интервалов решаем неравенство : откуда

Ответ: .

Б) .

Решение. По отдельности вычислим интеграл, стоящий в левой части и интеграл, стоящий в правой части неравенства:

; .

Тогда

Ответ: .

Существенных трудностей задания А) и Б) не вызывают.

III. Оцените последовательности.

А) ,

Решение. Вычислим данный интеграл: .

Пользуясь неравенством Коши для двух неотрицательных чисел, оценим выражение .

Прибавив к обеим частям данного неравенства – 2, получим оценку (an): .

Ответ: .

Б) .

Решение. Вычислим определённый интеграл:.

Тогда .

Используя неравенство Коши для трёх неотрицательных чисел, оценим (bn): .

Ответ: .

Вся трудность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько хорошо учащиеся помнят неравенство Коши.

IV. На координатной плоскости изобразите множество точек (область), удовлетворяющих следующим условиям.

А)

Решение. Преобразуем каждое неравенство системы по отдельности:

.

С учётом вычислений данная система примет вид:

На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы:

Закрашенная часть – искомая область.

Б) (данную конструкцию уместно предложить после изучения показательной функции).

Решение. Преобразуем каждое из неравенств системы по отдельности:

Тогда с учётом вычислений данная система примет вид:

. На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы:

Закрашенная часть – искомая область.

Сложность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько правильно учащиеся могут решать неравенства с двумя переменными.

V. При всех значениях параметра решить уравнения.

А)

Решение. Для начала вычислим предложенный интеграл:.

Тогда . Решая данное уравнение относительно параметра а, имеем:

1. если a = – 1: – 3 = 0, сл., решений нет; если a = 1: получим линейное уравнение 2x – 3 = 0, сл., ;

2. если

2.1. если , то решений нет;

2.2. если

Произведя отбор, запишем ответ.

Ответ: при :

при : решений нет

при a = 1: .

Б).

Решение. Вычислим предложенные определённые интегралы:

;

.

С учётом полученных вычислений имеем:


Во избежание ошибок при решении данного задания, необходимо заранее вспомнить с учащимися основные свойства тригонометрических функций (особенно области значений синуса и косинуса), а также правила решения отдельных задач с параметрами (это касается и задания А).

В конце нашей статьи хотим ещё раз заметить, что добиться максимальной работоспособности учащихся на уроке можно лишь при постановке таких проблемных ситуаций, которые будут создавать у школьников стремление их разрешить. На наш взгляд, одной из таких ситуаций будет использование предложенных конструкций, которые и осуществят творческий подход при обучении математике.