Цели: обобщение и систематизация знаний учащихся; формирование навыков решения заданий с параметрами, соответствующих материалу 7-9 классов.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для выпускников как основной, так и полной средней школы наибольшую сложность и в логическом, и в техническом плане. При решении уравнений и неравенств, содержащих параметры, кроме использования определённых алгоритмов решения, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить каких-либо тонкостей. Задачи с параметрами - это тема, на которой проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание им материала. Обучать этому надо всех учащихся, и особенно этой темой надо заниматься с сильными учениками, ведь задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

С параметрами учащиеся встречаются уже в седьмом классе при введении некоторых понятий. В качестве примеров рассмотрим следующие объекты:

• функция прямая пропорциональность: y = k x (x и y -переменные, k -параметр, k0);
• линейная функция: y = k x + b (x - переменная, к и b - параметры);
• линейное уравнение: a x + b = 0 (x - переменная, a и b - параметры);
• квадратное уравнение: a x+ b x + c = 0 (x - переменная, a, b, c - параметры, a 0).

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе математики, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений о общем виде, исследование их корней в зависимости от значений параметров.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример №1. Сравнить -а и 3а.

Решение. Рассмотрим три случая: если a < 0, то - a > 3a;

если a = 0, то- a = 3a;

если a > 0, то - a < 3a.

Пример №2. Решить уравнение а х = 1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: х = 1 / а.

Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

если а = 0, то решений нет; если а 0, то х = 1 / а.

Пример №3. Решить уравнение (а- 1) х = а + 1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

а) а = 1; тогда уравнение принимает вид 0 х = 2 и не имеет решений;

б) а = - 1; получаем 0 х = 0, и очевидно, что х - любое;

в) а 1; имеем х = .

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно отразить в ответе все этапы решения. В последнем примере запись ответа практически повторяет решение.

Ответ. Если а = - 1, то х -любое; если а = 1, то нет решения; если а 1, то х = .

Линейные уравнения с параметрами

Пример №4. Решить уравнение - 1 + = 0.

Решение. Это уравнение равносильно системе:

- 1 = 0, - 1 = 0,

= 0 а (х - 1) = 0

При a 0 второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х = 1. Если же а = 0, то из второго уравнения получаем х - любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения х = 1 или х = -1.

Ответ: если a 0, то х = 1; если а = 0, то х =1.

Во всех рассмотренных примерах областью допустимых значений как для переменной, так и для параметра, является всё множество действительных чисел.

Пример №5. Решить уравнение = 0.

Решение. Легко увидеть, что х = а - единственный корень. Условие х 1 влечёт за собой требование a 1.

Ответ: если a 1, то х = а, если а = 1, то решений нет.

Квадратные уравнения с параметрами

Пример №6. При каких значениях параметра m неравенство x- m x - m + 3 0 имеет хотя бы одно решение?

Решение. Парабола y = x- m x - m + 3 не должна быть расположена целиком выше оси Ох, поэтому D = m- 4 (3 - m) 0. Решив неравенство, получим m - 6, m 2.

Знаки корней квадратного уравнения.

Задачи

1. При каких значениях параметра a уравнение x- 6x + a = 0 имеет один корень?

2. При каких значениях параметра a уравнение x+ 2x + a = 0 имеет общий корень
с уравнением 3x- 4x - a = 0 ?

3. При каких значениях параметра a уравнение x- ax + 9 = 0 имеет два различных корня?

4. При каких значениях параметра a уравнение x- ax + 9 = 0 имеет два корня?

5. При каких значениях параметра a уравнение x- ax + 9 = 0 не имеет корней?

6. При каких значениях параметра b уравнение (b - 2)x+ x + 1 = 0 имеет единственное решение?

7. При каких значениях параметра b уравнение (2b - 5)x- 2(b - 1)x + 3 = 0 имеет два различных корня?

8. Укажите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение
x- 2ах + 2а + 24 = 0 имеет различные отрицательные корни.

9. Укажите все значения параметра а, при которых уравнение х - 2ах- (2а - 3)х = 0 имеет три различных корня.

10. При каких отрицательных значениях параметра к график функции у = к х - 6 пересекает график функции у = x+ x - 5 в двух различных точках?

11. При каких положительных значениях параметра к прямая у = к х - 1 пересекает параболу у = x+ х +5 в двух различных точках?

12. Укажите все значения параметра к, при которых прямая у = к х - 2 имеет единственную общую точку с параболой у = x+ х + 7.

13. Укажите все отрицательные значения параметра к, при которых графики функций
у = x- 3 х +1 и у = х +1 - к не имеют общих точек.

14. Укажите все значения параметра к, при которых графики функций у = к x- 2 х - 8 и
у = x- 6 х + 8 пересекают ось абсцисс хотя бы в одной общей точке.

15. Укажите наименьшее целое значение параметра а, при котором неравенство
- x- 4 х + 3 - а < 0 выполняется при любых значениях х.

16. При каких значениях а уравнение (а + 4х - х- 1)(а + 1 - ) = 0 имеет ровно три корня?

17. С помощью графиков определите, при каких значениях параметра р уравнение
= х - р имеет единственный корень.

Литература

1. Амелькин В.В., Рябцевич В.Л. Задачи с параметрами. Минск, «Асар», 1996.

2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - М.: «Илекса», 2005.

3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. М.: «Просвещение», 1989.

4. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: «Просвещение», 1972.

5. Математика. Учебно-методическая газета. Изд. дом «Первое сентября», 2003.