При изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе достаточное внимание уделяется рассмотрению примеров решений уравнений, сводящихся к квадратным и решению однородных уравнений первой и второй степени относительно sin x и cos x. При этом практически не рассматриваются примеры решения уравнений первой степени, являющихся неоднородными относительно функций sin x и cos x.

Изучая в школьном курсе 10 класса тему «Преобразование тригонометрических выражений», целесообразно ввести формулу a sinx + b cosx = sin(x+), где tg = . В дальнейшем она будет использоваться при решении неоднородных линейных уравнений. Формулы универсальной подстановки и формулы половинного аргумента выводятся в теме «Преобразование тригонометрических выражений» при выполнении заданий на упрощение тригонометрических выражений.

Цели:

• ввести понятие неоднородного тригонометрического уравнения I степени;
• ознакомить с алгоритмами решения неоднородных тригонометрических уравнений I степени;
• проверить прочность усвоения ранее изученных формул тригонометрии.

Тип урока: комбинированный.

Форма проведения: индивидуальная и фронтальная работа с учащимися.

Ход урока

I. Организационный момент

Вступительное слово учителя: Изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» кроме рассмотренного нами ранее вопроса о способах решения однородных тригонометрических уравнений I степени предполагает также рассмотрение способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Но прежде, чем мы перейдем к изучению нового материала, необходимо вспомнить применение формул тригонометрии при решении уравнений и неравенств.

II. Актуализация опорных знаний, умений

Математический диктант (10-12 минут).

По окончанию самостоятельной работы учащиеся меняются тетрадями и проводят взаимопроверку. Правильные ответы заранее записаны учителем на закрытой доске.

III. Формирование новых знаний и понятий

Слова учителя: Теперь мы переходим к новой теме нашего занятия - решению неоднородных тригонометрических уравнений I степени.

Дается определение: Уравнение вида a sin x + b cos x = c, где а, b, с не равны 0, называется неоднородным тригонометрическим уравнением I степени.

Данное уравнение может быть решено тремя способами.

Первый способ - универсальная подстановка

sin x =

cos x =

Второй способ - введение дополнительного угла

a sinx + b cosx = sin(x+), где = arctg если a + b c, то уравнение имеет корни

Третий способ - переход к функциям половинного аргумента

sin x = 2 sin cos

cos x = cos - sin

IV. Применение знаний, навыков, понятий

Задания на отработку применения разобранных способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Решаются у доски учениками с помощью учителя:

1-й ученик

1) sin 2x + cos 2x = sin 3x (через введение дополнительного угла)

Решение

sin (2x + ) = sin 3x sin (2x + ) = sin 3x sin (2x + ) - sin 3x = 0 2 sin cos = 0
sin () = 0 sin ( - ) = 0 x = + 2n, где n	или	cos () = 0 cos ( + ) = 0 x = + , где n

2-й ученик

2) 3 sin x - 4 cos x = 5 (применение универсальной подстановки)

Решение

3 - 4 = 5
6 tg - 4 (1 - tg) = 5 (1 + tg)
(tg - 3) = 0
x = 2 arctg3 + 2n, где n

3-й ученик

3) cos x - sin x = 1 (через переход к функциям половинного аргумента)

Решение

cos - sin - 2 sincos = sin + cos 2 sin(sin + cos) = 0
sin = 0 x = 2n	или	sin + cos = 0 - однородное первой степени tg = -1 x = - + 2n

Для самостоятельной работы учащихся (перед началом указываются способы решения):

1) sin x + cos x = (через введение дополнительного угла)

Решение

sin (x + ) =
sin (x + ) = 1
x = + 2n, где n

2) 3 sin x + 5 cos x= 6 (универсальная подстановка)

Решение

3 + 5 = 6
6 tg +5 - 5 tg = 6 + 6 tg
11 tg - 6 tg + 1= 0
решений нет, так как D<0

3) sin x + cos x = 1 (формулы половинного аргумента)

2 sin cos + cos - sin = cos + sin 2 sin cos - 2 sin = 0 2 sin( cos - sin) = 0
sin = 0 x = 2n, где n	или	cos - sin = 0 tg = 1 x = + 2n, где n

V. Итог урока

Подвести итог урока. Сообщить учащимся оценки, отметить наиболее активных.

VI. Домашняя работа

Домашняя контрольная работа по учебнику Колмогорова, стр. 285, № 152- 154 (задания а и б), №162 (задания а и в).