Уравнения высших степеней в курсе алгебры 10–11-х классов
- Однородные.
Уравнение вида 
называется однородным уравнением степени k относительно u и v, если P(u, v) - однородный многочлен степени k.
Уравнение 3-ей степени: 
Уравнение 4-ой степени: 
Пример 1.
Ответ: 0; -2; -0,5.
Пример 2.
Ответ: -0,5; -1; 2; 4.
Пример 3.
Ответ: 
Можно предложить решить ещё следующие уравнения:
- Уравнения, решаемые с помощью схемы Горнера.
Решение этих уравнений основано на следующих теоремах и утверждениях.
Рассмотрим в теории многочленов
- Многочлен степени n имеет не более n различных корней. Число
называют корнем многочлена P (x) , если P(
)=0 - Если число
является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на (х- ) без остатка. - Если многочлен P (x) имеет попарно различные корни
,
,
, . . . 
, то он делится на произведение 
без остатка.
Необходимое условие для того, чтобы несократимая дробь 
была корнем многочлена с целыми коэффициентами
необходимо, чтобы числитель р этой дроби был делителем свободного члена, а знаменатель q - делителем старшего коэффициента.
Пусть целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
1: 1 является корнем, если сумма всех коэффициентов равна 0.
-1: -1 является корнем, если сумма коэффициентов при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях.
Пример 1.
1 и -1 не являются корнями. Проверим 
. Двумя способами.
1) непосредственной подстановкой: 
корень уравнения. Следовательно, 
Таким образом, получим:
Второй способ покажем на другом примере:
Пример 2.
 |
 |
 |
х | Своб. | |
| 2 | -7 | -3 | 5 | -1 | |
| -1 | 2 | -9 | 6 | -1 | 0 |
 |
 |
х | Своб. |
1 и -1 не являются корнями уравнения.
и - являются рациональными корнями.
|
|
х | Своб. | |
| 2 | -9 | 6 | -1 | |
 |
2 | -8 | 2 | 0 |
|
х | Своб. |
Следовательно, - корень.
Если разложить на множители, то получим: 
Ответ: -1; ; 
.
Если делителей много:
Пример 3.
1 и -1 не являются корнями
12 : 
1; 
2; 3; 4; 6; 12
6 : 1; 2; 3; 6
1; 2; 3; 4; 6; 12
: 1; 2; 3; 4; 6; 12; 
24 делителя.
Используем следующее свойство:
Р(1) делится на (p-q) : Р(1)=6+19-7-26+12=4.
Р(-1) делится на (p+q) : Р(-1)=6-19-7+26+1=18
 |
1/1 | -1/1 | 2/1 | -2/1 | 3/1 | -3/1 | 4/1 | -4/1 | 6/1 | -6/1 | 12/1 | -12/1 |
| 4 | 0 | -2 | 1 | -3 | 2 | -4 | 3 | -5 | 5 | -7 | 11 | -13 |
| 18 | 2 | 0 | 3 | -1 | 4 | -2 | 5 | -3 | 7 | -5 | 13 | -11 |
|
1/2 | -1/2 | 1/3 | -1/3 | 1/6 | -1/6 | 2/3 | -2/3 | 3/2 | -3/2 | 4/3 | -4/3 |
| 4 | -1 | -3 | -2 | -4 | -5 | -7 | -1 | -5 | 1 | -5 | 1 | -7 |
| 18 | 3 | 1 | 4 | 2 | 7 | 5 | 5 | 1 | 5 | -1 | 7 | -1 |
Таким образом, корнями уравнения могут быть 2; -3; 1/2; -1/3
Далее проверка по схеме Горнера.
| 6 | 19 | -7 | -26 | 12 | |
| 2 | 6 | 31 | 55 | 84 | 10 |
| -3 | 6 | 1 | -10 | 4 | 0 |
| 1/2 | 6 | 4 | -8 | 0 | |
| -1/3 | 6 | 17 | 0 |
Ответ: -3; ; 
.
Пример 4.
1-5-9+41+32-60=0 
1 - корень.
| 1 | -5 | -9 | 41 | 32 | -60 | |
| 1 | 1 | -4 | -13 | 28 | 60 | 0 |
| 2 | 1 | -2 | -17 | -6 | 20 | |
| 3 | 1 | -1 | -16 | -20 | 0 | |
| 4 | 1 | 3 | -4 | 0 | ||
| 5 | 1 | 4 | 4 | 0 |
Ответ: 1; 3; 5; -2.
Пример 5.
| 1 | -1 | -8 | 14 | 1 | -13 | 6 | |
| 1 | 1 | 0 | -8 | 6 | 7 | -6 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | -7 | -1 | 6 | 0 | |
| 1 | 1 | 2 | -5 | -6 | 0 | ||
| -1 | 1 | 1 | -6 | 0 |
х =1; х = -1; х = -3; х = 2.
Ответ: 1; -1; -3; 2.
Можно предложить решить ещё следующие уравнения:
