Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

27.07.2010

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

Цель: Познакомить обучающихся с решением иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Способствовать развитию навыка решения задач.

Содержание занятий.

Задачи с параметром даются в текстах ЕГЭ.

Фактически задача с одним параметром содержит не одну неизвестную , а две - и параметр Множество решений такого уравнения - это множество пар чисел , подстановка которых в уравнение обращает его в верное равенство. Аналогично, множество решений неравенства с неизвестной и параметром

- множество пар чисел (, обращающих его в верное числовое неравенство. На I этапе решения классифицируются типы уравнений и неравенств для каждого значения параметра, а на II этапе - решаются не одно, а несколько уравнений (неравенств) каждого типа. Выделенные два этапа не обязательно идут в строгой последовательности I, II. В процессе решения они могут «переплетаться».

Пример №1 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде:

(1)

и рассмотрим его как квадратное относительно . Находим дискриминант уравнения D=. Уравнение (1) имеет решение только в случае, если .

Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда , т. е. при . Решив уравнения (2) и (3), получим при

Таким образом, приходим к следующему ответу:

при уравнение имеет два корня: х1 и х2 ; при уравнение имеет один корень: х2; при решений нет.

Пример №2 Решить уравнение

Решение. Функция определена и возрастает на промежутке . Наименьшее значение она принимает в точке ; . Следовательно, при уравнение имеет единственное решение, при решений нет.

Итак, пусть . Переписав уравнение в виде

, (1)

возведём обе его части в квадрат:

. (2)

Уравнение (2) является следствием (1). Перепишем его в виде:

(3)

Уравнение (3) является квадратным относительно . Решив его, получаем совокупность двух уравнений:

При уравнение (4) решений не имеет, а уравнение (5) имеет один корень

Так как при любом исходное уравнение имеет один корень, и притом только один, то найденный корень и является корнем исходного уравнения.

Ответ: При , при решений нет.

Пример №3. Решить уравнение

Решение. Уравнение равносильно системе

При система решений не имеет, при получим

Заметив, что при приходим к ответу: при при 3 решений нет.

Графическое решение

Пример №4

Решить уравнение

Решение. , на множестве Д уравнение равносильно исходному.

Уравнение равносильно системе

Изобразим на плоскости (х;а) график функции - это парабола с минимумом в точке , пересекающая ось в точке

Укажем также области плоскости (х;а), в которых выполняются неравенства системы

- полуплоскость ниже прямой , не включая эту прямую;
вертикальная полоса между прямыми и включающая правую границу;
полуплоскость выше прямой включая эту прямую.

Таким образом, исходное уравнение имеет решение при указанных условиях, иллюстрирующееся частью параболы, заключённой внутри трапеции АВСД, т. е. при .