I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2

2) симметрическое уравнение 3 степени - уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени - уравнение вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или

ax⁴ + bx³ + cx² - bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (-b) a

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x², тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t² - 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x⁴ - 2x³ - x² - 2x + 1 = 0, делим обе части на x²,

, после замены получаем уравнение t² - 2t - 3 = 0

- уравнение не имеет корней.

Ответ:

4) Уравнение вида (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = Ax², коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x². Перемножив 1-4 и 2-3 скобки, получим (x² + 14x + 24)(x² +11x + 24) = 4x², разделим обе части уравнения на x², получим:

имеем (t + 14)(t + 11 ) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени - уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) - многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ...+a₁x + a₀ , где a_n ≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a_n = 1 , то целые корни уравнения P_n(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a₀. Например, x⁴ + 2x³ - 2x² - 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; -5; 1; -1. Тогда P₄(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P₄(x) = 0 с помощью деления "уголком" многочлена на множитель х -1, получаем

P₄(x) = (x - 1)(x³ + 3x² + x - 5).

Аналогично, P₃(1) = 0, тогда P₄(x) = (x - 1)(x - 1)(x² + 4x +5), т.е. уравнение P₄(x) = 0 имеет корни x₁ = x₂ = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

значит, x₁ = 1 значит, x₂ = 1.

Итак, (x - 1)²(x² + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax³ + bx² + bx + a = 0, очевидно, x = -1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0, очевидно, x = -1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x⁵ + 3x⁴ - 5x³ - 5x² + 3x + = 0

x = -1

x = 1

x = 1

Получаем (x - 1)²(x + 1)(2x² + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; -1; -2; -0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1-7 и получить ответы…