Определение. Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Определение. Решением системы уравнений называют совокупность значений этих неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.

Основные методы решения систем уравнений

1. Способ подстановки:

   Из одного уравнений системы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в оставшиеся уравнения системы.

   Пример:

   

   

   

   

   

   

   Получаем . Находим

   Ответ: (0;0), (2;2), (; 2-), ().

2. Способ алгебраического сложения

   Пример:

   Сложим уравнения системы. Получим:

   

   

   Данная система равносильна такой:

   

   Из первого уравнения системы следует, что .

   Получаем, - решение первого уравнения системы. Проверкой убеждаемся, что (1;1) – решение исходной системы.

   Ответ: (1;1).

3. Способ почленного умножения и деления

   Пример:

   решением второго уравнения системы не является.

   Разделим одно уравнение системы на другое:

   

   

   

   

   Подставляем в первое уравнение системы, получаем:

   а)

   

   или

   или Решений нет.

   Ответ: (2;1); (-2;-1).

4. Способ введения новых переменных

   Опр. Система называется симметричной, если при замене x на y, а y на x каждое уравнение системы не меняется.

   Для таких систем характерна следующая замена неизвестных:

   Пример:

   Введем новые неизвестные. Используем , получаем

   

   

   

   

   

   В исходных неизвестных получаем две системы:

   или

   Вторая система не имеет решений.

   Ответ: (1;2), (2;1).

   Замечание.

   Для симметричной системы трех уравнений с тремя неизвестными целесообразна замена

   

5. Системы однородных уравнений

Если одно из уравнений системы является однородным, то его решение позволяет выразить линейно одну переменную через другую.

Пример:

Первое уравнение однородное. При из первого уравнения системы , но (0;0) решением системы не является. Разделив обе его части на , получим

. Тогда .

Исходная система распадается на две простейшие системы:

или

Ответ: (-4;-2), (4;2), (; ), (; ).

При большем интересе к данной теме можно было бы напомнить метод неопределенных коэффициентов при решении уравнений, использование схемы Горнера, рассмотреть системы с тремя неизвестными, добавить уравнения и системы с модулем и параметрами. Но нельзя объять необъятное. Целью этого материала было вспомнить необходимый минимум для решения ЕГЭ 2010.

Решим несколько систем демоверсии ЕГЭ-2010, применяя изложенные методы

1) Решить систему уравнений:

Перемножим уравнения системы:

Данная система разбивается на две более простые.

и

Ответ: (;), (; ).

2)

Решений нет.

Ответ: (-1; ).

Список литературы

1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре // М.: Просвещение, 1997.
2. Кравцев С.В., Макаров Ю.Н. Методы решения задач по алгебре для школьников и абитуриентов // М.: “Экзамен”, 2003.
3. Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажер //М.: “Илекса”, 2003.
4. Олехник С.Н. Алгебра и начала анализа //М.: Экзамен, 2003.
5. Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике // М.: Айрис Пресс Рольф, 1999.