В контрольно-измерительные материалы ЕГЭ включены задачи по стереометрии. В каждой задаче рассматривается, какое либо геометрическое тело.

От учащихся требуются умения применять изученные определения и теоремы с учётом знаний свойств геометрических тел. Вот почему так важны задачи, требующие “воображаемых построений”. Они часто служат основой для решения многих других задач, в частности таких, в которых требуется произвести построения на проекционном чертеже, когда точки, прямые и плоскости задаются с помощью призмы или пирамиды. Эти последние, в свою очередь, могут служить наглядной иллюстрацией первых

Рассмотрим конкретные примеры (формулировки задач, взятых из учебных пособий, несколько видоизменены).

Задача 1. Через точку М провести прямую, пересекающую две скрещивающиеся прямые b и а; М € а, М € b.

Решение. Пусть с — искомая прямая. Тогда пересекающиеся прямые а и с определяют проходящую через них плоскость , a прямые b и с — проходящую через них плоскость . Так как М с, с = , то М и М .

Таким образом, если задача имеет решение, то искомая прямая c = , где = (M, а), = (М, b).

На рис. 1 искомая прямая с пересекает прямые а и b в точках X и Y (рис.1).

Р и с. 1

Исследование. Было установлено, что искомая прямая есть линия пересечения плоскостей и . (Отсюда не следует, что искомую прямую можно провести только с помощью плоскостей и , дальше будет дано другое решение.) Это значит, что любая прямая, отличная от линии пересечения плоскостей и , не может быть решением задачи. Плоскости и не могут совпадать, так как прямые а и b не лежат в одной плоскости. Кроме того, М т. E есть прямая. Отсюда следует, что задача имеет не более одного решения. Может оказаться что, а || c или b || c, тогда задача не имеет решения.

Задача 1 учащимся дается нелегко, Им трудно представить себе взаимное расположение прямых а, b, с и плоскостей и , поэтому решение лучше иллюстрировать на модели. Задать точку М и прямые а, b, например, с помощью тетраэдра (рис. 2).

Р и с. 2

Пусть точка М принадлежит ребру SB тетраэдра SABC. Нужно провести прямую, проходящую через точку М и, пересекающую скрещивающиеся прямые SA и ВС.

Легко заметить, что решением задачи будет прямая SB. Выясняем ее свойства: (SB) = (SAB) (SBC), т. Е. (SB) — линия пересечения плоскостей и , где плоскость проходит через точку М и прямую SA, а плоскость — через точку М и другую прямую ВС.

Излагая построение в общем виде, можно выполнить рис. 1.

При исследовании важно добиваться четкого ответа на следующие вопросы:

• Откуда следует, что задача имеет не более одного решения?
• При каком условии задача имеет решение?

Несмотря на то что с = g p, всегда существует, задача может не иметь решения. Почему?

Можно ли задать точку М и прямые а, b, чтобы задача не имела решений?

Для того чтобы учащиеся лучше поняли решение задачи 1, целесообразным не раз возвращаться к приведенному выше общему случаю, дополняя его конкретным заданием точки М и прямых а, b, как это сделано в задачах 1.1 —1.3.

Задача 1.1. Дана пирамида SABCD и точка М; М [SA]. Через точку М провести прямую, пересекающую прямые SB и CD.

Решение. Анализ. Как было показано (задача 1), искомой прямой может быть только линия пересечения плоскостей = (MSB) и = (MCD). Для ее построения достаточно найти точку пересечения прямой CD с плоскостью (рис. 3).

Построение.

1) (АВ) (CD = X, X = (CD) MSB);

2) (MX)—искомая прямая.

Р и с. 3

Задача 1.1 подсказывает другое решение задачи 1.

Пусть плоскость проходит через точку М и прямую a, прямая b пересекается с плоскостью в точке X (рис.1). Искомой прямой будет (MX), если (МХ) не есть пустое множество. На рис. 1 (МХ) = Y. Для того чтобы найти точку X, достаточно через прямую b провести произвольную плоскость z. Пусть d — линия пересечения плоскостей z и , тогда X=bd.

В задаче 1.1: а = (SB), b = (CD), = (MSB), z = (ABCD), d = (AB).

Следует обратить внимание учащихся на два вывода, полученные при решении задачи 1 двумя способами:

1. Если задача 1 имеет решение, то искомая прямая c= .
2. Если задача 1 имеет решение, то искомая прямая с = (MX), где X=b a.

Учащимся полезно понять, что эти два высказывания не противоречат друг другу, так как = (МХ).

Задача 1.2. Дана пирамида SABCD. Через точку М [SD] провести прямую, пересекающую прямые SB и AC.

Решение. Для построения искомой прямой достаточно найти точку пересечения прямой АС с плоскостью = (SBD). Строим точку X (рис. 4), где Х= (AC) (BD). Тогда Х== (AC) и (MX) —искомая прямая, если (MX) (SB) не есть пустое множество.

Рис. 4

Задача 1.3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и точка MlB₁C₁]. Построить прямую, проходящую через точку М и пересекающую прямые АВ и СС_1.

Решение. Прямая MB — искомая (рис.5). Действительно: (MB) (AB)=B, (MB) (СС₁)=Х.

Рис. 5

Задача 1.4. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и точка M [C₁C]. Построить прямую, проходящую через точку М и пересекающую прямые АВ и A₁D₁.

Анализ. Воспользовавшись вторым решением задачи 1, заключаем, что искомой прямой будет (MX), где X=(A₁D₁) (MBA).

Р и с. 6

Построение (рис. 6).

1) (AN) = (MBA₁D₁D), N [DD₁];

2) (AN) (A₁D₁),

X = (A₁D₁) (MBA);

3) (MX) – искомая прямая. На рис. 6: (MX) (A₁D₁) = X, (MX) (AB) = Y

Исследование. При любом выборе точки М между точками С₁ и С задача имеет решение.

Вот примеры ещё двух задач. За каждой из них следуют две задачи на построение, на которых удобно иллюстрировать общий случай.

Задача 2. Проведите прямую, параллельную прямой а и пересекающую две скрещивающиеся прямые b и с.

Задача 2.1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построить прямую, параллельную (A₁D₁) и пересекающую (В С) и (А₁В₁).

Задача 2.2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ . Построить прямую, параллельную (А₁С₁) и пересекающую (ВB₁) и (AD).

Задача 3. Через данную точку провести прямую, параллельную двум данным пересекающимся плоскостям.

Задача 3.1. Дана пирамида SABCD и точка М [SD]. Через точку М провести прямую, параллельную плоскостям SAB и SCD.

Задача 3.2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Через вершину А₁ провести прямую, параллельную плоскостям AB₁D ₁ и BB₁C₁C.

Опыт показал, что, несмотря на усвоение учащимися решений задач 1–3 в общем виде, частные случаи представляют определённый интерес при подготовке к ЕГЭ: решения таких задач для учащихся обычно не очевидны, связаны с преодолением некоторых трудностей и развивают пространственные представления. С другой стороны, эти задачи помогают выработать умения применять изученные определения и свойства геометрического тела. Устанавливается преемственность между задачами на доказательства и задачами на построение сечений призм и пирамид, создаются благоприятные условия для выработки навыков в решении конструктивных задач по стереометрии.

При подготовке статьи я использовала следующую литературу:

1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11 класс М. Просвещение, 2006 г.
2. А. Г. Погорелов. Геометрия 7-11 класс М. Просвещение, 2002 г.
3. К. С. Барыбин. Геометрия 10-11 класс М. Просвещение, 2000 г.
4. Л. Силаев. Динамика геометрических фигур. М. Чистые пруды, 2007 г.
5. Г. И. Глейзер. История математики в школе. М. Просвещение, 1992 г.