Цель: Доказательство теоремы Пифагора и ее применение к решению задач.

Задачи:

• Образовательная: установить соотношение между сторонами прямоугольного треугольника через доказательство теоремы Пифагора;
• Развивающая: научить самостоятельно мыслить, делать выводы, обобщать изучаемый материал;
• Воспитательная: воспитывать внимательность, терпение и настойчивость.

Оборудование:

• Компьютер (для учителя)
• Мультимедийная установка
• Экран
• Учебник «Геометрия» автор Л.С. Атанасяна

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

- Здравствуйте, ребята, садитесь. Дежурный, сообщите, кто отсутствует в классе. Спасибо.
- Ребята откройте свои тетради, запишите дату и слова классная работа.

II. Проверка домашнего задания

- Начнем урок с проверки домашнего задания. Предлагаю ученику рассказать решение № 471, затем показываю слайд с этим решением и ставлю оценку ученику.

№471. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты:

а) а = 4 см, в = 11 см. в) а = 1,2 дм, в = 3 дм

(Приложение. Слайд 1 с решением домашнего задания)

Решение:

а) S = 1/2 · 4 · 11 = 22 (см²)
в) S = 1/2 · 1,2 · 3 = 0,6 · 3 = 1,8 (дм²)

Ответ: а) 22 см², в) 1,8 дм²

Так же один из учащихся комментирует решение задачи, идет слайд 2 с правильным решением, ученику выставляется оценка.

№ 472 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12.

Решение:

Пусть в одной части х см., тогда а = 7х см, в = 12х см.
Составим уравнение, используя формулу площади прямоугольного треугольника:

S = 1/2 а в.
168 = 1/2 · 7х · 12х
168 = 42х²
х² = 4
х = 2

Тогда, а = 7 · 2 = 14 (см), в = 12 · 2. = 24 (см)

Ответ: 14 см, 24 см.

Итак, ребята при решении этих задач, мы использовали формулу площади прямоугольного треугольника S = 1/2 ав (Приложение. Слайд 2)

III. Объяснение нового материала

Перейдем к изучению нового материала. Тема сегодняшнего урока: «Теорема Пифагора». Запишем тему урока в тетрадь. Ребята, теорема, которую нам предстоит доказать, устанавливает замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника и является важнейшей теоремой геометрии.
Итак, теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с. (Приложение. Слайд 3)
Докажем, что с² = а² + в²
Достроим данный прямоугольный треугольник до квадрата со стороной а плюс в, то есть увеличим длину каждого катета на длину другого катета, как показано на рисунке

(Приложение. Слайд 4)
Площадь построенного квадрата равна S = (a + в)² (1)
С другой стороны, этот квадрат составлен из 4-х равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна S = 1/2 ав и квадрата со стороны с, а значит его площадь равна S = 4 · 1/2 ав + с² = 2ав + с² (2)
Левые части (1) и (2) равны, а значит, равны и правые, то есть 2ав + с² = (a + в)² 2ав + с² = а² + 2ав + в²
Вычтем из левой и правой части равенства одинаковые слагаемые и получим с² = а² + в²
Что и требовалось доказать.

Интересна история теоремы Пифагора. В истории развития математических идей древней Греции Пифагор занимает почетное место. Пифагор - древнегреческий ученый VI века до нашей эры. (Приложение. Слайд 5)
Хотя доказанная нами сейчас теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже 100 быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более 100.С одним из них мы уже познакомились, еще с одним познакомимся в следующей главе. Если вы заинтересуетесь, то другие доказательства сможете найти в занимательной литературе по математике.

IV. Закрепление изученного материала

А теперь, ребята, поучимся применять теорему Пифагора при решении задач.
Решим задачу № 483 (б, г) и № 484 (а, г)
На каждую из четырех задач вызывается к доске ученик, решает задачу, получает уточняющие вопросы и ему выставляется комментируемая оценка.

№483

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катета а и в.

б) а = 5, в = 6

Решение:

Применим теорему Пифагора: с² = а² + в²
Подставим значение катетов: с² = 5² + 6² , с² = 25 + 36, с² = 61
Получаем, с =

г) а = 8, в =

Решение.

Подставим в уже написанную нами теорему Пифагора значения катетов и найдем значение гипотенузы. с² = 8² + ()², с² = 64 + 64 · 3, с² = 64 · (1 + 3), с² = 64 · 4
с = = 8 · 2 = 16

Ответ: б) , г) 16

№484

В прямоугольном треугольнике а и в - катеты, с - гипотенуза. Найдите в, если: а) а = 12, с = 13

Решение.

Подставим данные в теорему Пифагора:

144 + в² = 169
в² = 25
в = 5

г) а = , с = 2в
в² = с² - а², в² = (2в)² - ()², в² = 4в² - 4 · 3, 3в² = 12, в² = 4, в = 2

Ответ: а) 5, г) 2

V. Самостоятельная работа (5-7 минут)

1 вариант 2 вариант

1) Найти гипотенузу, если известны катеты а и в

а = 3, в = 4 а = 6, в = 8

2) Найти катет а, если известен другой катет и гипотенуза.

с = 10, в = 6 с = 13, а = 5

- Проверим решение своих задач. (Приложение. Слайд 6)

1 вариант 2 вариант

1) с² = а² + в² , с² = 9 + 16, с² = 25, с = 5 1) с² = а² + в², с² = 36 + 64, с² = 100, с = 10
2) а² = с² - в², а² = 100 - 36, а² = 64, а = 8 2) в² = с² - а², в² = 169 - 25, в² = 144, в = 12

- Молодцы ребята. Вы справились с задачами, то есть увидели применение теоремы Пифагора на конкретных примерах.

VI. Подведение итогов урока

- Ребята, сегодня на уроке мы не только познакомились с доказательством одной из самых знаменитых теорем, но и научились применять ее при решении задач, большинство из вас справилось с этими решениями, вы получили хорошие оценки за урок.
- Запишем домашнее задание: п. 54, № 483 (в), № 484 (б, в, д)
- Спасибо. Урок окончен.

Приложения

• pril.ppt (96.26 КБ)