Урок "Теорема Пифагора"
Цель: Доказательство теоремы Пифагора и ее применение к решению задач.
Задачи:
- Образовательная: установить соотношение между сторонами прямоугольного треугольника через доказательство теоремы Пифагора;
- Развивающая: научить самостоятельно мыслить, делать выводы, обобщать изучаемый материал;
- Воспитательная: воспитывать внимательность, терпение и настойчивость.
Оборудование:
- Компьютер (для учителя)
- Мультимедийная установка
- Экран
- Учебник «Геометрия» автор Л.С. Атанасяна
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Здравствуйте, ребята, садитесь. Дежурный, сообщите, кто
отсутствует в классе. Спасибо.
– Ребята откройте свои тетради, запишите дату и слова классная
работа.
II. Проверка домашнего задания
– Начнем урок с проверки домашнего задания. Предлагаю ученику рассказать решение № 471, затем показываю слайд с этим решением и ставлю оценку ученику.
№471. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты:
а) а = 4 см, в = 11 см. в) а = 1,2 дм, в = 3 дм
(Приложение. Слайд 1 с решением домашнего задания)
Решение:
а) S = 1/2 · 4 · 11 = 22 (см2)
в) S = 1/2 · 1,2 · 3 = 0,6 · 3 = 1,8 (дм2)
Ответ: а) 22 см2, в) 1,8 дм2
Так же один из учащихся комментирует решение задачи, идет слайд 2 с правильным решением, ученику выставляется оценка.
№ 472 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12.
Решение:
Пусть в одной части х см., тогда а =
7х см, в = 12х см.
Составим уравнение, используя формулу площади прямоугольного
треугольника:
S = 1/2 а в.
168 = 1/2 · 7х · 12х
168 = 42х2
х2 = 4
х = 2
Тогда, а = 7 · 2 = 14 (см), в = 12 · 2. = 24 (см)
Ответ: 14 см, 24 см.
Итак, ребята при решении этих задач, мы использовали формулу площади прямоугольного треугольника S = 1/2 ав (Приложение. Слайд 2)
III. Объяснение нового материала
Перейдем к изучению нового материала. Тема сегодняшнего урока:
«Теорема Пифагора». Запишем тему урока в тетрадь. Ребята, теорема,
которую нам предстоит доказать, устанавливает замечательное
соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного
треугольника и является важнейшей теоремой геометрии.
Итак, теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а,
в и гипотенузой с. (Приложение. Слайд 3)
Докажем, что с2 = а2
+ в2
Достроим данный прямоугольный треугольник до квадрата со стороной а
плюс в, то есть увеличим длину каждого катета на длину другого
катета, как показано на рисунке
(Приложение. Слайд
4)
Площадь построенного квадрата равна S = (a +
в)2
(1)
С другой стороны, этот квадрат составлен из 4-х равных
прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна S =
1/2 ав и квадрата со стороны с, а значит его площадь равна S
= 4 · 1/2 ав + с2 =
2ав + с2
(2)
Левые части (1) и (2) равны, а значит, равны и правые, то
есть 2ав + с2 =
(a + в)2
2ав + с2 =
а2 + 2ав + в2
Вычтем из левой и правой части равенства одинаковые слагаемые
и получим с2 = а2 +
в2
Что и требовалось доказать.
Интересна история теоремы Пифагора. В истории развития
математических идей древней Греции Пифагор занимает почетное
место. Пифагор – древнегреческий ученый VI века до нашей
эры. (Приложение. Слайд 5)
Хотя доказанная нами сейчас теорема и связывается с именем
Пифагора, она была известна задолго до него. В
вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до
Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а
само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено
опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел
доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что
в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по
другим свидетельствам – даже 100 быков. На протяжении
последующих веков были найдены различные другие
доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их
насчитывается более 100.С одним из них мы уже познакомились, еще с
одним познакомимся в следующей главе. Если вы заинтересуетесь,
то другие доказательства сможете найти в занимательной
литературе по математике.
IV. Закрепление изученного материала
А теперь, ребята, поучимся применять теорему Пифагора при
решении задач.
Решим задачу № 483 (б, г) и № 484 (а, г)
На каждую из четырех задач вызывается к доске ученик, решает
задачу, получает уточняющие вопросы и ему выставляется
комментируемая оценка.
№483
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катета а и в.
б) а = 5, в = 6
Решение:
Применим теорему Пифагора: с2 =
а2 + в2
Подставим значение катетов: с2 =
52 + 62 , с2 = 25 +
36, с2 = 61
Получаем, с = 
г) а = 8, в = 
Решение.
Подставим в уже написанную нами теорему Пифагора значения
катетов и найдем значение гипотенузы. с2
= 82 + ()2, с2 = 64 + 64 ·
3, с2 = 64 · (1 + 3),
с2 = 64 · 4
с = 
= 8 · 2 =
16
Ответ: б) , г) 16
№484
В прямоугольном треугольнике а и в – катеты, с – гипотенуза. Найдите в, если: а) а = 12, с = 13
Решение.
Подставим данные в теорему Пифагора:
144 + в2 = 169
в2 = 25
в = 5
г) а = 
,
с = 2в
в2 = с2 –
а2, в2 =
(2в)2 – ()2, в2 =
4в2 – 4 · 3, 3в2 =
12, в2 = 4, в = 2
Ответ: а) 5, г) 2
V. Самостоятельная работа (5-7 минут)
1 вариант 2 вариант
1) Найти гипотенузу, если известны катеты а и в
а = 3, в = 4 а = 6, в = 8
2) Найти катет а, если известен другой катет и гипотенуза.
с = 10, в = 6 с = 13, а = 5
– Проверим решение своих задач. (Приложение. Слайд 6)
1 вариант 2 вариант
1) с2 = а2 +
в2 , с2 = 9 + 16,
с2 = 25, с =
5
1) с2 = а2 +
в2, с2 = 36 + 64,
с2 = 100, с = 10
2) а2 = с2 –
в2, а2 = 100 – 36,
а2 = 64, а =
8 2)
в2 = с2 –
а2, в2 = 169 – 25,
в2 = 144, в = 12
– Молодцы ребята. Вы справились с задачами, то есть увидели применение теоремы Пифагора на конкретных примерах.
VI. Подведение итогов урока
– Ребята, сегодня на уроке мы не только познакомились с
доказательством одной из самых знаменитых теорем, но и научились
применять ее при решении задач, большинство из вас справилось с
этими решениями, вы получили хорошие оценки за урок.
– Запишем домашнее задание: п. 54, № 483 (в), № 484 (б, в, д)
– Спасибо. Урок окончен.