Тема:«Систематизация и обобщение знаний по теме «Уравнение».

Класс: 6.

Учебник: Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.

Тип урока: систематизации знаний.

Цели урока:

• Учебная задача: в ходе рассмотрения практической задачи систематизировать знания учащихся, связанные с понятием «уравнение»; построить «теорию уравнения».
• Диагностируемые цели: в результате ученик:
  • знает описание понятия «уравнение» и все сопутствующие ему понятия;
  • знает алгоритм решения уравнения и умеет применять его к решению конкретных уравнений;
  • осознает связь уравнений с выражениями и верными математическими равенствами;
  • осознает, что решение уравнений основано на свойствах чисел и арифметических операций над ними;
  • осознает, что способы и приемы решения уравнений основаны на тождественных преобразованиях выражений;
  • понимает существование различных видов уравнений и наличие специфических методов их решения;
  • понимает, что уравнение является, по сути, предложением математического языка;
  • понимает, что уравнение – это математическая модель реальных ситуаций;
  • понимает, что построение такой модели может привести к получению новых знаний о данной ситуации;
  • знает алгоритмы решения задач алгебраическим способом;
  • имеет представление о математике и  ее роли в познании мира.

Структура урока:

• Мотивационно-ориентировочная часть.
  • Мотивация (необходимость привести знания в порядок).
  • Постановка учебной задачи.
• Содержательная часть
  • Постановка практической задачи.
  • Систематизация знаний об уравнении.
• Рефлексивно-оценочная часть.

Методы обучения: беседа, частично-поисковый, наглядный.

Оборудование (средства): систематизирующая таблица, канва таблицы, мультимедийные средства.

ХОД УРОКА

– За два года изучения математики мы прошли сложный и длинный путь, многое узнали о различный математических понятиях, многому научились. Многие из этих понятий изучались нами с разных сторон, в различных аспектах и в разных темах. Поэтому в конце года необходимо привести свои знания в порядок. Сегодня мы рассмотрим очень важное понятие, о котором мы много знаем и большое количество времени посвятили его изучению. О каком понятии идет речь, станет понятно в дальнейшем.
– Вначале немного поговорим о математике вообще. В пятом классе мы говорили, что математика имеет свой язык. Математический язык – это язык чисел, буквенных и числовых выражений, язык геометрических чертежей. Предложения этого языка всегда описывают какую-то ситуацию. Поэтому мы говорим, что эти предложения являются моделями явлений окружающего мира.
– Рассмотрим задачу. Расстояние между двумя городами автобус преодолевает за 5,75 часа, а автомашина, скорость которой на 10,5 км/ч больше,– за 5 часов. Определите расстояние между городами.
– Скажите, может ли сложиться такая ситуация в действительности? (Да).
– Таким образом данная ситуация весьма реальна. Как может помочь математика ответить на поставленный вопрос? Такие задачи мы решали, для этого есть специальный метод. Как он называется? (Метод математического моделирования)
– В чем он состоит? (Он состоит из трех этапов: 1)построение математической модели; 2) работа с математической моделью; 3) формулирование ответа)
– Так как такие задачи уже нами решались, вы уже можете сказать, какая математическая модель получится? (Уравнение)
– Давайте, применив метод математического моделирования, решим эту задачу и одновременно с этим повторим некоторые важные вопросы, касающиеся уравнения. В этом и будет состоять цель нашего урока: повторить вопросы, связанные с уравнениями и их решением, привести в порядок наши достаточно обширные знания об этом понятии.
– Как уже было сказано, первым этапом решения таких задач является построение математической модели. Для этого нужно оформить условие.

1. Построение ММ

– Каков смысл выражений 5,75х и  5(х + 10,5)? (Они выражают расстояние между двумя городами)
– Сравните эти выражения? (Они равны)
– Это вытекает из задачи. Запишем их равенство.
5,75х = 5(х + 10,5)
– Получили предложение математического языка, которое описывает всю ситуацию, описанную в задаче, то есть является математической моделью этой задачи.
– Задач, в которых моделью выступает уравнение, мы решили множество и еще больше разных задач и уравнений нас ждет впереди. Большое количество таких задач говорит о том, что ситуаций в жизни, которые описываются уравнением, очень много. Математика – наука, которая изучает мир с помощью математических моделей. Поэтому она должна знать, как с такими моделями обращаться. И математика отвлекается от того, что конкретно означают эти выражения, от их конкретного смысла, и изучает их.
– Мы сказали, что моделью данной задачи является уравнение. А что это такое? Что называется уравнением? (Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой)
– Достаточно ли для решения этой задачи только составить уравнение? (Нет)
– Естественно, составив модель, мы использовали всю данную нам в условии информацию, а уравнение должно нам дать новую информацию, но для этого надо что-то сделать, чтобы эту информацию получить.
– В определении уравнения говорится, что уравнение содержит неизвестное число, а составляя уравнение по условию задачи, мы какую величину обозначили за икс? (Скорость автобуса)
– А почему именно эту величину? (Потому что она неизвестна и через нее удобно выразить все остальные величины)
– Значит, какую неизвестную, но необходимую нам информацию может дать нам уравнение? (Скорость автобуса)
– А что для этого нужно? (Решить уравнение)
– А что это значит «решить уравнение»? (Это значит найти все его корни или доказать, что их нет)
– Это очень важное определение, мы об этом говорили. Что значат слова «найти все корни»? (Что у уравнения может быть несколько корней)
– Правильно. В 5-6 классе такие уравнения встречались редко, но все-таки мы сталкивались с ними. И примеры таких уравнений мы уже можем привести.
х² = 0,01
– Как мы рассуждали, чтобы решить такое уравнение? (Чтобы найти неизвестное, нужно найти все числа, которые при возведении в квадрат дадут 0,01; например, 0,1 умноженное на 0,1 даст 0,01, но тот же самый результат будет при умножении – 0,1 на – 0,1)
– Какие же корни имеет это уравнение? (0,1 и – 0,1)
– Знакомство с понятием модуля числа позволило составлять еще один вид уравнений, которые имеют не один корень.
|х | = 5
– Как мы рассуждали при решении таких уравнений? (Что бы найти икс, нужно найти все числа, которые находятся на расстоянии 5 единичных отрезков от нуля. Таких чисел два: 5 и 5)
– Вернемся к определению того, что значит решить уравнение. О чем говорят слова «доказать, что их нет»? (Они означают, что бывают уравнения, у которых нет корней)
– Приведем примеры таких уравнений.
|х | = – 3
– Ну а как мы решаем с уравнения, подобные тому, которое получилось при решении задачи? (Нам известен алгоритм решения таких уравнений)
– Решим это уравнение и назовем этапы его решения

2. Работа с ММ

– А откуда нам известно, что мы можем выполнять такие действия, как раскрытие скобок и  приведение подобных членов? (Это операции упрощения выражений)
– А как мы объясняли возможность выполнять действия из пунктов 2 и 4? (Это свойства равенств)
– Итак, знания, которые нами получены из других тем пригодились нам при решении уравнения, помогли обосновать шаги алгоритма.
– Вернемся к этапам решения задачи. Скажите, при решении уравнения мы как-то использовали, то, что данные выражения несут определенный смысл?  Нам было важно, какой смысл они несут? (Нет)
– А что это означает? А это означает, что для решения уравнений не важно, обозначена ли через икс скорость автобуса или какая-то другая величина. При решении уравнений это никак не используется. Это позволяет нам сделать два вывода. Скажите, ответ  х = 70 – это ответ задачи? (Нет, мы только узнали, что корень этого уравнения ?70)
– Верно. При решении уравнения мы как бы забыли, что этот икс значит. А это означает, что после того, как мы получили из модели какую-то информацию, мы должны ее интерпретировать, то есть понять, а что же такое мы получили. Поэтому при решении задач методом математического моделирования необходим третий этап –  это первый вывод.

3. Формулировка ответа.

70 км/ч скорость автобуса
S = vавтtавт
S = 5,75 – 70 = 402,5 (км)
Ответ: 402,5 км расстояние между городами

– А какой второй вывод? Скажите, а данное уравнение может быть моделью для другой задачи? (Да)
– То есть, можно встретить задачи, где ситуация совершенно другая, а модель получается такая же. Именно по этому, изучая уравнение, математика не обращает внимания на то, какой практический смысл несет это уравнение, что обозначает неизвестное и т.д. Поэтому, с одной стороны, нужно уметь просто решать уравнения, а с другой, нужно уметь применять уравнения для решения практических задач.
– Посмотрите на уравнение  модель к задаче. Поле выполнения пунктов 1-3 получилось уравнение 0,75х = 52,5, а мы встречали ситуации, когда выполнить пункт 4 нельзя. Такая ситуация может возникнуть, если при приведении подобных слагаемых с икс получается 0.
Например:
0 ^. х = 52,5
– Как быть здесь? Как мы рассуждаем в таком случае? (В этом случае икс – это число при умножении на ноль дает 52,5, а такого не может быть, так как при умножении на ноль любого числа будет ноль, значит, это уравнение не имеет корней)
–  Таким образом, это еще один вид уравнений, которые не имеют корней. И если в других примерах мы использовали необычные операции, модуль или возведение в квадрат, то тут это может получиться из привычного для нас уравнения.
– А если получится
0 – х = 0?
– Как быть тут? (При умножении какого-то числа на ноль всегда будет ноль, значит, вместо икс можно взять любое число. Значит, любое число –  корень такого уравнения)
– А откуда мы знаем, что при умножении на ноль получается именно так? (Это известно из свойств чисел)
– Подведем итоги. Посмотрим, что мы с вами сделали. Мы стали решать практическую задачу. Перевели ее условие на математический язык и получили математический объект – уравнение. Выяснили, что это такое, что значит решить уравнение. Рассмотрели особые случаи уравнений, когда корней или  2 корня, бесконечно много корней или вообще нет. А далее применив уравнение как инструмент, решили задачу.
– Так зачем математика изучает уравнения?
– Из каких этапов состоит решение задач методом математического моделирования?
– Какие другие вопросы математики помогли нам решать уравнения, знания каких областей мы использовали?

Приложение