Цель:

• Обобщить и закрепить навыки решения квадратных уравнений ах² + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0; продолжить развивать навыки устного решения таких уравнений.
• Способствовать выработке у школьников желания и потребности обощения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.
• Обеспечить закрепление теоремы на интересных примерах.

Оборудование:

• Кодоскоп
• Карточки тесты
• Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся
• Сигнальные карточки.

Ход урока

I Повторение пройденного материала

1) Устная работа через кодоскоп с применением сигнальных карточек. Если ученик готов отвечать, то зеленая, нет - красная. Согласен с ответом - зеленая, не согласен - красная.

А) 5х2 - 7х + 2 = 0	[т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = ]
Б) х2 - 12х + 35 = 0	[по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5]
В) 313х2 + 326х + 13 = 0	[а - в + с = 0, то х1 = -1, х2 = -]
Г) 4х2 + 12х + 5 = 0	[метод переброски х1 = -, х2 = -]
Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:
х1 = 5, х2 = -6	[ х2 + х -30 = 0]
х1 = 2, х2 =	[ х2 - (2 - ) х + 2 = 0]

Доказательство теоремы Виета и свойств числовых коэффициентов уравнения.

Теорема Виета.

Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х²; произведение корней этого уравнения равно свободному члену деленному на коэффициент при х².

х₁ + х₂ = -

х₁х₂ = .

Доказательство.

Т.к. квадратное уравнение ах² + вх + с = 0 имеет корни х₁ и х₂, то справедливо тождество ах² + вх + с = а(х - х₁)(х - х₂).

Раскроем скобки в правой части этого тождества:

х² + х - х₂х + х₁х₂,

отсюда следует, что х₁ + х₂ = - и х₁* х₂ = . Что и требовалось доказать.

Обратная теорема Виета.

Если выполняются равенства х₁ + х₂ = - и х₁х₂ = , то числа х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах² + вх + с = 0.

Свойства коэффициентов 1.

Пусть дано квадратное уравнение ах² + вх + с = 0, где а0. Если а + в + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = .

Доказательство.

ах² + вх + с = 0, а0

Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное уравнение х² + .

Согласно теореме Виета		х1 + х2 = -
		х1

По условию а + в + с = 0, откуда в = - а - с. Значит		х1 + х2 = - = 1 +
		х1* х2 = 1 *

Получим х₁ = 1, х₂ = .

Свойство коэффициентов 2.

Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 а - в + с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = - .

Доказывается аналогично.

В итоге на доске открывается таблица:

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Уравнение	Условие	Заключение	Пример
ах2 + вх + с = 0	х1 и х2	х1 + х2 = - , х1 * х2 =	х1 = 7 + ; х2 = 2 - х1 + х2 = 9; х1х2 = 11 - 5
ах2 + вх + с = 0	х1 + х2 = - , х1 * х2 =	х1 и х2 корни	х2 + 5х + 6 = 0 х1 = - 2, х2 = - 3
ах2 + вх + с = 0	а + в + с = 0	х1 = 1, х1 =	1998х2 - 907х - 1091 = 0 х1 = 1, х2 =
ах2 + вх + с = 0	а - в + с = 0	х1 = - 1, х1 = -	127х2 + 250х + 123 = 0 х1 = - 1, х1 = -
ах2 + вх + с = 0	а2х2 + авх + ас = 0 у2 + в1у + с1 = 0 у1, у2	х1 = х2 =	4х2 + 12х + 5 = 0 у2 + 12у + 20 = 0 х1 = - , х2 = - ; у1 = - 2, у2 = - 10.

Вывод:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова?!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.

II. Решение интересных заданий с применением теоремы Виета. Классу задается на дом подобрать по три интересных задания. Самые интересные решаются на уроке. №1 и №2 решаются на доске одновременно. №1 решается с полным комментированием, класс работает с учеником, который решает №1. №2 ученик рассказывает основные моменты.

1. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения х² - 3e х? + 1 = 0.

Решение.

	х2 + 3х + 1 = 0;	х1 + х2 = - 3;	х1 * х2 = 1;
	х2 - 3х + 1 = 0;	х3 + х4 = 3;	х1 * х2 = 1;

х + х + х + х = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂ + (х₃х₄)² - 2х₃х₄ = 9 - 2 + 9 - 2 = 14.

2. Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения 2х² - 7х + 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

Решение.

По теореме Виета х₁ + х₂ = 3,5; х₁ * х₂ = 0,5

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета, для этого необходимо найти их сумму и произведение:

+ = = = = 150,5

- = = = 2.

Искомое уравнение имеет вид

х² + 150,5 + 2 = 0 или 2х² - 301х + 4 = 0.

3. Корни уравнения х² - вх - в = 0 таковы, что х + х + хх = 7,5.

Решение.

х₁ + х₂ = b;

х₁ * х₂ = - b;

х + х = (х)(( х) - 3х) + х = b(b + 3b) - b³ = b³ + 3b² - b³ = 3b² = 75.

3b² = 75

b² = 25

b₁ = 5, b₂ = - 5.

4. Пусть х₁и х₂ корни уравнения 3х² + 14х - 4 = 0.

Установите, больше или меньше единицы значение дроби

.

Решение.

х₁ + х₂ = - ;

х₁ * х₂ = - ;

5. Для каких значений а разность корней уравнения 2х² - (а + 1)х + а + 3 = 0 равна единице?

Решение.

х₁ - х₂ = 1 = > х₁ = 1 + х₂

х₁ + х₂ = = > 1 + х₁ + х₂ =

х₁ * х₂ = = > 2х₂ + 1 = = > х₂ = .

х₁ = 1 +

х₁ =

= ;

(а + 3)(а - 1) = 8а + 24

а² + 3а - а - 3 - 8а - 24 = 0

а² - 6а - 27 = 0

а₁ = -3

а₂ = 9.

Ответ: а₁ = -3, а₂ = 9.

III. Тест - самостоятельная по карточкам.

Вариант I.

Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).

Решите уравнение:

х² + (

А) 2; ;

Б) --;

В); ;

Г) нет правильных ответов.

Не решая квадратного уравнения 3х²-х-11 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

А) х²-

Б) х²-

В) х² +

Г) х² +

Вариант II.

Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).

1) Решите уравнение:

х²-(

А) 5; ;

Б) --;

В) -; ;

Г) ; .

Не решая квадратного уравнения 2х²-5х-4 = 0, составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

А) х²-

Б) х²-

В) х² +

Г) х² +

Проверка ответов через кодоскоп. Учащиеся меняются листочками с ответами, проверяют решение соседа и ставят оценку.

IV. Домашнее задание

Поменяться карточками с творческими заданиями.

VI. Итог урока