Цели урока:

• Повторить основные понятия темы;
• Проанализировать процесс решения уравнений (неравенств) и обосновать цепочку переходов от исходного уравнения (неравенства) к равносильному;
• Способствовать познавательной активности учащихся при помощи информационных технологий;
• Создавать условия для реализации творческих способностей учащихся.

Тип урока: Защита проекта, урок обобщения знаний, повторения.

Ход урока

Учитель: Решая сложные задания (особенно из части С), мы постоянно сталкиваемся с моментами, где в кажущейся простой ситуации мы допускаем ошибки. В чем проблема?

Иногда при решении уравнений случаются неприятности: появляются "лишние" корни, теряются "нужные", а иногда непонятно, что делать дальше, потому, что неизвестное исчезло, а осталось "уравнение" 0 = 2 или 1 = 1. Чтобы справляться с такими неприятностями, надо хорошо понимать, что такое уравнение, и что мы делаем с ним в процессе решения. (далее привожу выступление ученика по его проекту).

Докладчик: Начну с определения уравнения [слайд №3]

Уравнением называется запись f = g, где f и g — две функции, заданные на одном и том же множестве А. Множество А называется областью определения уравнения (или ОДЗ). Таким образом, чтобы задать уравнение, мало написать f = g, еще надо указать А - его область определения (сл.№4)

Обычно область определения уравнения не упоминается — нам говорят "решите уравнение", например, данное: х² + 2 = 4х и мы сразу понимаем, что область определения уравнения — любое число, т.к. при этом условии имеет смысл и f, и g.

Я разобрала на составные части процесс решения уравнения, чтобы точно узнать, откуда берутся ошибки, и какие меры предосторожности надо принимать.

Пусть дано уравнение [слайд №5]

Упростив его левую и правую части по отдельности, получим

Разделим числитель и знаменатель левой части на х², а правой — на х, сделаем подстановку . Получим уравнение [слайд 6]

откуда. . Отсюда и = 0 или и = 1.

Вернемся к замене: [слайд 7]

,
решений не дает.

,
x=1.

Казалось бы, уравнение решено. Если, однако, попытаться подставить в исходное уравнение х = 1, то мы убедимся, что это – не корень (на нуль делить нельзя!) [слайд№8] С другой стороны, легко проверить, что х = 0 – корень уравнения, который мы почему-то не нашли. Где же мы ошиблись? (идет обсуждение).

В уравнении: , мы делили числители и знаменатели дробей на х, что можно делать только при; стало быть, если 0 является корнем, то при этой операции мы его потеряем. В таких случаях проще всего сразу подставить х = 0 в уравнение и посмотреть, корень ли это. Убедившись, что в данном случае это – корень, и запомнив это, пойдем дальше. Но удобнее всего было бы перенести все в левую часть и привести к общему знаменателю: [слайд №9] .

Решение этого уравнения очевидно (дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Рассмотрим простейшее иррациональное уравнение. [слайд № 10]

Пример 1. (1)

Решение. Возведя обе части в квадрат, получим квадратное уравнение(2). Все решения исходного уравнения (1) являются решениями уравнения (2) (если числа равны, то и их квадраты равны). Иными словами, уравнение (2) является следствием уравнения (1). Однако среди решений уравнения (2) могут быть не только нужные нам числа: ведь и данное (3):после возведения в квадрат даст то же самое уравнение (2), а значит, все корни этого "постороннего" уравнения, если таковые есть, также будут корнями (2). [Слайд №11]. Поэтому, решив уравнение (2), надо еще отобрать среди найденных корней те, которые удовлетворяют нашему уравнению (1). В нашем случае это сделать совсем просто: решая (2), квадратное, находим ; подстановкой в (1) убеждаемся, что подходит, а нет.

Но часто бывает ситуация, когда подстановкой проверить корни почти невозможно.

Пример 2. (слайд №12) (1) Возводим в квадрат, получаем уравнение:

(2). Находим корни: .

Мы выполнили неравносильные преобразования, возможно получили посторонние корни (решения уравнения (3), которое тоже при возведении в кв. дает (2), но как же теперь выбрать то, что нам нужно? Во всяком случае, подставлять такие числа в исходное уравнение (1) — занятие бесперспективное. Обратите внимание, что все корни квадратного уравнения – это либо корни нашего исходного уравнения, либо корни "постороннего" уравнения (3).

Т.к.. , то всякий корень уравнения– неотрицательное число, а всякий корень уравнения– неположительное число. А нам нужен корень только исходного, значит неотрицательное число. И в ответ выходит положительный корень. Ответ. .

[Слайд №13] Итак, уравнение равносильно системе:

Уравнение Б является следствием уравнения А, если все корни уравнения А являются корнями уравнения Б. Уравнения А и Б равносильны, если множества их корней совпадают. [слайд №14].

Считаю, что лучше тщательно изучить ход решения и выяснить, на каком этапе могли появиться "лишние" корни, и какие именно. Конечно, желательно, чтобы каждое новое уравнение было бы равносильно исходному (тогда лишних корней появиться не может), но этого можно добиться не всегда.

Я проанализировала некоторые ситуации при выполнении преобразований и выделила главные моменты. Что произойдет с естественной областью определения уравнения, если в нем заменить:

[слайд №15]

a) (ОДЗ сужается: была: , стала: )
б) (ОДЗ расширилась: была: , стала: x-любой)
г) ( )
д) (идет обсуждение)

Кстати, к этому сводится известная шутка – "доказательство" равенства 2 = 4: [слайд №16]

Поэтому, чтобы избежать таких "шуток", надо пользоваться равенствами: [слайд №17]

Решая уравнение из домашнего задания

я столкнулась с проблемами.

(Уравнение решается у доски и в тетрадях, затем докладчик продолжает).

Приведу верный вариант решения: [слайд №18]

0) Выпишем ОДЗ: .

1) Перейдем в левой части к логарифму по основанию 2 и разложим квадратные трехчлены на линейные множители:

.

2) Т.К. в ОДЗ , разделим обе части на и прологарифмируем степень в правой части: , получим:

.

3) Перенесем все в левую часть и вынесем за скобки [слайд№19]

или .

4) Приравнивая к нулю сомножители, получим совокупность уравнений:

а) ;
.
Ответ: .

б) ;
;
;

В данном случае на каждом из шагов выполнялись равносильные преобразования, учитывая ОДЗ. Значит, проверку можно не выполнять.

Проанализируем, какие ошибки возможны при решении: [слайд №20] (идет обсуждение).

0) Забудем про ОДЗ.

1)
2) , (допущены ошибки при логарифмировании степени).
3) или .

Здесь уже приобретен посторонний корень (мы же не учли ОДЗ) и подготовлена потеря корней. (Применение неверной формулы сузило ОДЗ: изначально , теперь строго > 4).

4) [Слайд №21] Тогда ;

а) если сократить на , то произойдет потеря корня и мы получим данный неверный ответ а) ,
б) если вынести за скобки, то , все равно уйдем от правильного ответа б) .

Я СДЕЛАЛА ВЫВОДЫ ИЗ РЕШЕННОГО ПРИМЕРА. [слайд №22]

1) Опасно делить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (можно потерять корни).
2) Если уравнение содержит общий множитель c неизвестным, его следует вынести за скобки и привести уравнение к совокупности двух, равных нулю.
3) При решении уравнений нельзя делать ошибок типа – они могут привести к потере корней (из-за сужения ОДЗ).

Рассмотрим конкретный пример из задания С1 ЕГЭ прошлого 2007 года.

Задание: найти точки максимума функции

Решение: (решение у доски, в тетрадях, затем продолжает докладчик) [слайды №23-24]

1) Найдем ОДЗ:
2) Преобразуем функцию:
3) Для нахождения точек максимума, найдем производную функции: . И стационарные точки: x= -1, x= 0, x=2
4) Определим знаки производной и поведение функции:

Выходит, что точек максимума две: x= -1 и x= 2. Но x= -1 не входит в область определения функции. Поэтому точка максимума одна: x=2.

Ответ. x=2.

Вывод: необходимо учитывать ОДЗ при решении любых задач, а особенно в тех случаях, когда выполняются неравносильные преобразования. Как в данном примере: область определения расширилась после того, как мы упростили функцию.

[Слайд №26] Ход решения неравенств устроен примерно так же, как и ход решения уравнений. Стоит добавить, что множество решений неравенства обычно бесконечно. Проверить все найденные числа трудно, поэтому необходимо избегать переходов к неравносильным неравенствам.

Пример 1. [слайд №27]

Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, это возможно только при неотрицательности обеих частей. Но что же нам делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? А ничего не делать, для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом в ОДЗ, и, стало быть, сама неотрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система:

, где возведенное в квадрат неравенство, неотрицательность правой части ОДЗ

Пример 2. [слайд №28]

Решение. Здесь опять же заведомо можно возвести в квадрат только тогда, когда . Однако теперь уже нельзя отбросить тех, для которых правая часть отрицательна:

Итак, у нас получилось два случая: если правая часть неотрицательна , то из нашего неравенства следует система Если же правая часть отрицательна, то нер-во верно на ОДЗ (ведь тогда отрицательная правая часть должна быть меньше положительной левой, а это верно на ОДЗ) и следует система где неотрицательность меньшей части и ОДЗ.

Неравенство равносильно такой совокупности двух систем:

Пример 3. [слайд №29]

Решение. На сей раз обе части неравенства всегда неотрицательны, так что возведение в квадрат дает неравенство, равносильное исходному на его естественной области определения. Возведение в квадрат дает неравенство: , (8) область определения дает неравенства: (9) и (10).

Мы не учитываем (10), т.к. если правое, меньшее, подкоренное выражение неотрицательно, то левое и подавно неотрицательно. Стало быть, из неравенства следует такая система:

, возведенное в кв. нер-во и неотрицательность меньшей части.

Неравенство равносильно системе: [слайд № 30]

Учитель: Используя результаты ваших исследовательских работ, в данном случае Оксаны, мы проанализировали различные ситуации, выяснили причины появления таких неприятных моментов в нашей практике, как “лишние” корни, потеря нужных. Рекомендую всем заинтересованным в качественном решении использовать эти выводы.

2. Решить уравнения, неравенства:

1. 12 - 7х + х² = 4(х-3) .
2. log₂(x³-4) – log₄(x³- 4) = log_{2 \/} x⁶-11x³+28
3. (21х-2х²+65) * * log₃ |x-9|.>0.

3. Итог урока. [слайд 31]