Открытый урок "Решение уравнений, содержащих знак модуля"

06.02.2008

Открытый урок "Решение уравнений, содержащих знак модуля"

Тема: Решение уравнений содержащих знак модуля.

Цель урока: отработать приемы решения уравнений, содержащих знак модуля; выработать умение решать любые уравнения содержащих знак модуля.

ХОД УРОКА

1. Организационная часть

2. Из повторения

а) Опр.: «Модулем числа а называется расстояние от начала отчета до точки изображающей это число на координатной прямой».
Модулем называют также абсолютную величину, т.е. |5| = 5; | - 3| = 3; |0| = 0.

б) Основные свойства модуля:

1) |а| > 0
2) | - а| = |а|
3) а < |а|
4) |х| < а, (если а > 0)

равносильно неравенству - а < х < а

5) |х| > а (если а > 0) равносильно двум неравенствам х < - а и х > а

3. Объяснение материала

Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих знак модуля.

Пример 1:

Решить уравнение: |5х - 3| = 2х + 1

Решить это уравнение можно используя аналитическую запись определения модуля числа а, т.е.

\|а\| =	{	а,	если а > 0
		0,	если а = 0
		- а,	если а < 0

Выделим виды уравнений с модулем:

I. Решим уравнение вида:

|f (х)| = |q (х)|
т.к. |а| = |b|, если а = ± b, то
|f (х)| = |q (х)| <=> f (х) = ± q (х) <=>
f2 (х) - q2 (х) = 0.

Например,

|х - 2| = |2х - 1|
х - 2 = 2х - 1 или х - 2 = - (2х - 1)
- х = 1 х - 2 = - 2х + 1
х = - 1 х = 1
Ответ: - 1; 1.

Решить самостоятельно:

1-й уровень:

а) |х³ + х + 1| = 1
х³ + х + 1 = 1
- х³ - х - 1 = 1

х³ + х = 0,
х³ + х + 2 = 0,

х (х² + 1) = 0, х = 0
х = - 1.

Ответ: - 1; 0.

2-й уровень:

б) |х² - х - 2| = |2х² - х - 1|
х² - х - 2 = 2х² - х - 1
х² + 1 = 0
корней нет

или х² - х - 2 = - (2х² - х - 1)
х² - х - 2 = - 2х² + х + 1
3х² - 2х - 3 = 0
D = 4 + 36 = 40

II. Решение уравнений вида:

|f (х)| = q (х)
Можно указать два приема решения таких уравнений:
1) |f (х)| = q (х) имеет корни, если

q (х) > 0, т.е. \|f (х)\| = q (х)	<=>	{	f (х) = ±q (х)
			q (х) > 0

Поэтому достаточно решить два уравнения f (х) = q (х), f (х) = - q (х) и для найденных значений х проверить справедливость неравенства q (х) ? 0.

2) Т.к. |f (х)| = f (х), если f (х) > 0
|f (х)| = - f (х), если f (х) < 0, то уравнение |f (х)| = q (х) равносильно каждой из следующих систем:

{	f (х) > 0	или	{	f (х) < 0
	f (х) = q (х)			f (х) = - q (х)

Решив каждое уравнение необходимо проверить выполнения неравенства.

Например:

|х³ + 3х³ + х| = - х + х³
х³ + 3х² + х = - х + х³ и х³ + 3х² + х = х - х³
3х² + 2х = 0 2х³ + 3х² = 0
х (3х + 2) = 0 х² (2х + 3) = 0

х = 0 или х =

Проверим выполнения неравенства

х³ - х > 0
Ответ: х = ; 0.
III. Решение уравнений вида: |f1 (х)| + |f2 (х)| + … + |fn (х)| = q (х)

Эти уравнения основаны в решении на определения, т.е. |а| = а, если а > 0
|а| = - а, если а < 0
fn (х) могут быть многочленами, дробно-рациональными функциями и т.д.
Для каждой функции находят область определения, ее нули, точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область на промежутки, в каждом из которых каждая из функций fn (х) сохраняет постоянный знак. Затем, используя определение модуля для каждой из найденных областей, получим уравнение, подлежащее решению.

Например:

|х + 1| - |х - 1| = 2
х = - 1 х = 1