Факультативное занятие по разделу "Тригонометрические уравнения". 10-й класс

26.03.2007

Все многообразие тригонометрических уравнений в жесткую, ограниченную схему свести не удается. Можно, однако, выделить несколько типов уравнений, при решении которых желательно применять стандартные, давно известные и эффективные приемы.

Даже самые сложные примеры допускают в качестве промежуточных этапов в решении применение этих приемов. Перечислим их:

1) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

2) Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение.

3) Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

4) Решение уравнений сведением к квадратным уравнениям и уравнениям высших степеней путем замены.

5) Решение однородных тригонометрических уравнений.

6) Решение линейных тригонометрических уравнений универсальной подстановкой или введением дополнительного угла.

7) Решение уравнений вида .

8) Решение уравнений вида .

9) Использование оценок при решении.

На занятии решаются все девять приведенных типов тригонометрических уравнений,

И дается задание для самостоятельной работы дома.

Пример 1.

Решить уравнение . Сколько корней имеет уравнение, если ?

Решение

Преобразуем исходное уравнение следующим образом:

Полученное уравнение равносильно паре тригонометрических уравнений: - простейшее, - сводящееся к простейшим. Для преобразования второго уравнения в простейшее сделаем замену , в результате которой получим алгебраическое уравнение . Решаем полученное квадратное уравнение:

Таким образом второе уравнение эквивалентно еще двум простейшим уравнениям:

и . Решим три полученных простейших уравнения:

;

не имеет решения;

;

дополнительному условию удовлетворяют следующие решения:

Таким образом, уравнение имеет 5 корней.

Ответ: 5.

Пример 2.

Решить уравнение В ответ записать сумму решений (в градусах) , удовлетворяющих условию

Решение

Используя тригонометрические тождества преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, получаем:

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно двум простейшим тригонометрическим уравнениям. Решим их:

Дополнительному условию удовлетворяют решения:

Их сумма равна

Ответ:

Пример 3.

Решить уравнение В ответ записать сумму решений , удовлетворяющих условию

Решение

Преобразуем произведение в левой части уравнения в сумму

Разложим по формуле двойного угла и вынесем общий множитель .

Получим два простейших тригонометрических уравнения, решим их

Дополнительному условию задачи удовлетворяют решения Их сумма равна

Ответ:

Пример 4.

Решить уравнение . В ответ записать число решений, принадлежащих интервалу .

Решение

Сделаем замену , получим алгебраическое уравнение третьей степени .

Вынесем общий множитель, получим

Зная свойства функции , заметим, что решать полученные уравнения нет необходимости, так как из свойства функции следует, что первое и третье уравнения имеют в точности по одному решению в интервале , а второе уравнение не имеет решений в этом интервале. Таким образом, искомых решений – два.

Ответ: 2.

Пример 5.

Решить уравнение

В ответ записать (в градусах) решение , удовлетворяющее условию

Решение

Данное уравнение является однородным. Поделим обе части уравнения на , получим Решим его:

Рассмотрим полученные простейшие тригонометрические уравнения:

не имеет решений.

Дополнительному условию удовлетворяет решение

Ответ: .

Пример 6.

Решить уравнение В ответ записать количеств решений, удовлетворяющих условию

Решение

Используем формулы для преобразования тригонометрических выражений вида

Для этого разделим исходное уравнение на 2 и преобразуем его.

. Так как , то исходное уравнение имеет вид Применим эту формулу для синуса суммы

Дополнительному условию удовлетворяют два решения: .

Заметим, что это уравнение можно было решать по-другому. Используем замену переменной В этом случае Тогда уравнение превращается в следующее:

Достаточно вспомнить, что уравнение для любого имеет единственное решение в любом промежутке длиной . Поэтому уравнение в любом промежутке длиной для любого имеет единственное решение. Дополнительное условие задачи как раз и есть условие принадлежностей корней промежутку длины .