Задачи, в которых многоугольник (треугольник, четырехугольник, правильный n-угольник) вписан в окружность или описан около нее, являются классикой планиметрии и традиционно входят в задание №17 ЕГЭ по математике профильного уровня. Умение решать такие задачи требует не только знания формул, но и понимания геометрических конфигураций: где находится центр окружности, как связаны стороны, радиусы и углы.

1. Базовые конфигурации

1.1. Окружность, описанная около многоугольника

Окружность называется описанной, если все вершины многоугольника лежат на ней.

• Центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• Треугольник: Для любого треугольника окружность существует и единственна. Центр может лежать внутри (остроугольный), на гипотенузе (прямоугольный) или вне (тупоугольный) треугольника.
• Четырехугольник: Описать окружность можно только если сумма противоположных углов равна 180°.

1.2. Окружность, вписанная в многоугольник

Окружность называется вписанной, если она касается всех сторон многоугольника.

• Центр - точка пересечения биссектрис углов.
• Треугольник: Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника. Радиус r=2S/P
• Четырехугольник: Вписать окружность можно только если суммы противоположных сторон равны: a+c=b+d.

1.3. Правильные многоугольники

Для правильного n-угольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Связь стороны a, радиуса описанной окружности R и вписанной r:

Ключевой факт для ЕГЭ: В правильном треугольнике R=2r. В квадрате

2. «Связующие» элементы: отрезки касательных и теоремы

При решении комбинированных задач часто требуется переходить от одного радиуса к другому или находить отрезки, на которые делят стороны точки касания.

Теорема об отрезках касательных: Из одной точки к окружности можно провести два равных отрезка касательных.

Следствие: Если в треугольник вписана окружность, она делит стороны на отрезки: AB=x+y, BC=y+z, AC=x+z. Отсюда легко выразить x, y, z через полупериметр p: x=p−BC и т.д.

Теорема Птолемея: Для вписанного четырехугольника произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: AC·BD = AB·CD+BC·AD. В задачах ЕГЭ 2024-2025 эта теорема встречается все чаще.

Теорема о хордах: Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

3. Методы решения задач в ЕГЭ

3.1. Алгебраический метод (системы уравнений)

Это самый надежный способ. Вводите неизвестные (стороны, радиусы, отрезки) и записывайте:

• Теорему Пифагора (если есть прямоугольные треугольники, образованные радиусом, стороной и апофемой).
• Теорему косинусов (для связи сторон и углов вписанного многоугольника).
• Формулу площади: S=pr (для вписанной) и S=4R/abc​ (для описанной окружности треугольника).

3.2. Координатно-векторный метод

Если конфигурация сложная (например, окружность касается двух сторон многоугольника и проходит через вершину), удобно ввести систему координат:

• Начало координат в вершине прямого угла (для прямоугольника) или в центре окружности.
• Записать условия принадлежности точек окружности и условия касания (расстояние от центра до прямой равно радиусу).

3.3. Метод поворота и подобия

При комбинации «две окружности + многоугольник» часто работают гомотетии. Центры вписанной и описанной окружностей связаны с вершинами через подобие треугольников, образованных радиусами и касательными.

4. Типовые задачи из ЕГЭ (разбор идей)

Задача 1. Треугольник и две окружности

В треугольник со сторонами 13, 14, 15 вписана окружность. Найдите радиус окружности, касающейся двух сторон треугольника и вписанной окружности.

Идея решения: Находим площадь по формуле Герона (S=84), полупериметр p=21p, радиус r впис=S/p=4. Рассматриваем малую окружность в угле. Центр лежит на биссектрисе. Если провести высоты из центра большой и малой окружностей на одну сторону, получится трапеция или прямоугольный треугольник. Коэффициент гомотетии с центром в вершине угла равен отношению радиусов. Ответ часто получается по формуле:

Задача 2. Четырехугольник, описанный и вписанный

Около окружности описан четырехугольник ABCD, причем AB:BC:CD = 2:3:4. Найдите стороны, если известно, что в него можно вписать окружность (условие AB+CD=BC+AD), а радиус описанной окружности равен R.

Идея решения: Сначала используем условие описанного четырехугольника: AB+CD = BC+AD → 2x+4x = 3x+AD → AD = 3x. Далее, раз четырехугольник одновременно описанный и вписанный (т.е. сумму противоположных углов180°), то это равнобочная трапеция или прямоугольник. Выясняем тип, строим чертеж и через теорему синусов (диагональ как хорда) находим x и R.

Задача 3. Окружность, вписанная в сектор или сегмент

В правильный шестиугольник со стороной a вписана окружность. Найдите площадь круга, касающегося двух соседних сторон шестиугольника и вписанной окружности.

Идея решения: Центр вписанной окружности шестиугольника совпадает с его центром. Расстояние от центра до стороны - апофема: Малая окружность в угле 120° (угол правильного шестиугольника). Ее центр лежит на биссектрисе. Расстояние от вершины до центра малой окружности равно r_мал/sin60°. Решаем уравнение, что расстояние от общего центра до центра малой окружности равно r6 − r_мал (если окружность внутри) или r6+rмал (если снаружи).

5. Типичные ошибки и «ловушки» ЕГЭ

1. Путаница радиусов: В условии может быть дана описанная окружность для треугольника, а вопрос про вписанную в этот же треугольник. Не подставляйте R вместо r в формулу S=pr.
2. Условие существования: Не любой четырехугольник можно вписать в окружность или описать около нее. Всегда проверяйте: для описанного - суммы противоположных сторон, для вписанного - суммы углов.
3. Вписанная окружность в прямоугольный треугольник: r=(a+b−c) /2, где c - гипотенуза. Это частный случай, который экономит время.
4. Касание окружностей: Задачи с фразой «окружность касается стороны и продолжения другой стороны» - это вневписанная окружность. Ее радиус находится по формуле ra=S/(p−a)

6. Алгоритм действий для решения

1. Анализ условия: Начертите чертеж. Обозначьте все данные и искомые величины. Отметьте центры окружностей (O для описанной, I для вписанной).
2. Классификация: Определите, какие многоугольники вписаны, а какие описаны.
3. Выбор формул:
   1. Для треугольника: формула Герона, S=abc/4R​, S=pr.
   2. Для правильного n-угольника: стандартные тригонометрические связи.
   3. Для четырехугольника: теорема Птолемея, свойства касательных.
4. Введение переменных: Обозначьте отрезки от вершин до точек касания (это часто разбивает задачу на систему линейных уравнений).
5. Составление системы: Используйте теорему Пифагора, равенство отрезков касательных, теоремы синусов и косинусов.
6. Решение и проверка: Отбросьте отрицательные корни (длины не могут быть отрицательными). Убедитесь, что окружность действительно может касаться или пересекать фигуру (например, радиус вписанной окружности меньше радиуса описанной для одного треугольника).

Заключение

Комбинация многоугольников и окружностей - это не набор разрозненных формул, а цельная геометрическая картина. Ключ к успеху на ЕГЭ - умение увидеть на чертеже прямоугольные треугольники (образованные радиусом, стороной и расстоянием до центра) и правильно применить свойство отрезков касательных. Настоятельно рекомендуется освоить координатный метод как универсальный инструмент для проверки решений сложных конфигураций. При подготовке к урокам можно использовать следующие сайты: