Задача 1. (Комбинированная)

В треугольнике ABC известно: ∠A = 60°, ∠B = 45°, сторона BC = 6 см.

а) Найдите сторону AC.

б) Найдите радиус R описанной около треугольника ABC окружности.

в) Найдите медиану CM, проведенную к стороне AB.

Задача 2. (На доказательство свойства)

С помощью теоремы косинусов докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Задача 3. (Нахождение элементов треугольника)

В треугольнике ABC сторона AB = 10, сторона AC = 16. Косинус угла между этими сторонами равен - 0,25 (угол - тупой).

а) Найдите длину стороны BC.

б) Найдите длину биссектрисы угла A, проведенной к стороне BC.

Задача 4. (Задача практического содержания)

Два пешехода вышли из одного пункта. Первый пошел на север со скоростью 5 км/ч, а второй - на восток со скоростью 4 км/ч. Через 2 часа первый пешеход повернул и пошел прямо навстречу второму. Определите, через какое время после поворота первый пешеход встретит второго, если второй пешеход не менял направления движения.

Задача 5. (Задача повышенной сложности)

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что AB = c, AC = b, ∠A = 2α.

а) Выразите длину биссектрисы AD через стороны b, c и угол α.

б) Выразите длину биссектрисы AD через стороны b, c и сторону BC = a.

(Указание: используйте формулу площади треугольника ABC как сумму площадей треугольников ABD и ADC, а также теорему синусов для этих треугольников).