Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока: рассмотреть теорему умножения вероятностей; формулу полной вероятности; вероятность произведения двух и более независимых событий.

План урока

1. Устные упражнения
2. Изучение нового материала
3. Решение заданий.
4. Самостоятельная работа.
5. Подведение итогов урока.
6. Комментирование домашнего задания.

Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (самостоятельная работа).

Ход урока

1. Организационный момент

Постановка целей изучения темы, определение значимости изучаемого материала.

2. Актуализация знаний

Повторить понятия: совместные события, несовместные события, независимые события.

• Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.
• Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.
• Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Устное решение задач.

1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало 2 очка?

Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит п = 6. Событию А = {выпало 4 очка} благоприятствует одно событие: 2. Поэтому т = 1. События равновозможные, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому Р(А) = т/п = 1/6 = 0,17.

2. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков?

Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = {выпало не более 4 очков} благоприятствует 4 события: 1, 2, 3, 4. Поэтому т = 4. Поэтому Р(А) = т/п = 4/6 = 0,67.

3. Изучение нового материала. Постановка проблемы

Рассмотрим задачу «Вытягивание мяча из урны». У вас есть две урны. В первой урне 3 красных и 7 синих мячей, во второй урне – 5 красных и 5 синих мячей. Случайным образом выбирается одна из урн, и из нее вытягивается мяч. Если мяч оказался красным, какова вероятность, что он был вытянут из первой урны?

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить условную вероятность события А. если известно, что произошло событие В.

Теорема Байеса, названа в честь британского математика Томаса Байеса, который сформулировал этот принцип в 18 веке. Теорема Байеса позволяет обновлять вероятность гипотезы А на основе новой информации В.

Обозначим: А1 – событие «выбрана первая урна», А2 – событие «выбрана вторая урна».

В – событие «вытянут красный мяч»

Вычислим Р(А1| B)

Р(А1| B)= Р(В| А1)∙Р(А1)/Р(В),

где Р(В| А1) = 3/10 = 0,3;

Р(А1) = ½ = 0,5; 

Р(В) = 0,3∙0,5 + 0,5∙0,5 = 0,15 + 0,25 = 0,4

Р(А1| B)= 0,3∙0,5/0,4 = 0,375.

Таким образом, вероятность того, что мяч был вынут из первой урны составляет 0,375.

Решение задач

В непрозрачном мешке лежат 6 зелёных и 4 жёлтых шара. По очереди извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что сначала появится зелёный шар, а затем – жёлтый?

В некотором случайном опыте могут наступить события А и В. Найдите:

Сегодня мы познакомились с теоремой Бейеса и рассмотрели задачи, которые помогают лучше понять и применить этот мощный инструмент. Она позволяет нам обновлять наши знания и делать более точные выводы на основе новой информации, глубже понять и анализировать данные.

Домашнее задание

1. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 77% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

2. В некотором случайном опыте известны следующие вероятности событий: P(M|N) = 0,42, P(M) = 0,3, P(N) = 0,1. Найдите условную вероятность события N при условии, что событие М наступило.

Литература

1. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство “Экзамен”, 2021.
2. Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2022. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь /Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦШМО, 2022.