Семинар-практикум для молодых специалистов "Графическое моделирование в обучении решению текстовых задач"

«Современное образование – умение школьника взглянуть на реальную, жизненную ситуацию с позиции физика, химика, историка, географа отнюдь не для того, чтобы стать исследователем в этой области, а для того, чтобы разрешать в последующем конкретные жизненные ситуации» – говорит педагог, ученый, профессор Высшей школы экономики А.Г.Каспржак.

Если мы будем смотреть с точки зрения начального образования, стать настоящим исследователем младший школьник может, решая текстовые задачи на уроках математики, которые позволят оттачивать не только логические операции и вычислительные навыки, но и моделировать жизненные ситуации, приближаясь к реалиям бытия.

Не для кого ни секрет, что умения младших школьников распутать клубок текстовой задачи, выделить условие и вопрос, установить причинно-следственные связи между ними, осознанно использовать математические понятия для ответа на вопрос задачи являются для начального образования краеугольным камнем.

Известный и признанный ученый-методист Н.Б.Истомина определяет такие необходимые условия успешного обучения младших школьников решению текстовой задачи:

1. Формирование у учащихся навыков чтения.
2. Усвоение учениками конкретного смысла сложения и вычитания, отношений «больше на/в несколько раз», «меньше на/в несколько раз», разностного и кратного сравнения.
3. Сформированность приемов умственной деятельности.
4. Умения складывать и вычитать отрезки и интерпретировать с их помощью различные ситуации.

Под текстовой задачей понимается такая задача, в условии которой явно не указываются действия, которые надо произвести над данными числами для определения искомого.

Умение решать задачи не находится в прямой зависимости от количества решенных задач. Главное сформировать общий подход к задаче, к ее анализу, к поиску решения.

Причины, по которым учащиеся не умеют решать задачи:

• Неумение анализировать задачу, т.е. неумение ориентироваться в ситуации, которая рассматривается в ней.
• Отсутствие у школьников анализа собственной деятельности.
• Недостаточное управление мыслительной деятельностью учащихся со стороны учителя.
• Недостаточное внимание к выяснению функций определенных типов задач и каждой конкретной задачей.

В методике преподавания математики установлено, что процесс решения задачи должен состоять из таких этапов:

1. Анализ условия
2. Поиск плана решения
3. Осуществление найденного плана, проверка и доказательство того, что полученное решение удовлетворяет требованию задачи.
4. Анализ проведенного решения.

Все текстовые задачи можно разделить на 2 группы:

• простые задачи, для решения которых нужно выполнить 1 арифметическое действие.
• составные задачи, для решения которых нужно выполнить несколько действий, связанных между собой.

А т.к. составная задача включает в себя ряд простых задач, для нас учителей очень важно научить детей очень хорошо решать разные типы простых задач, чтобы процесс перехода к решению составных задач был для детей осознанным.

Известный отечественный психолог А.Н.Леонтьев писал: «Актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной активности субъекта» – а это и есть деятельностный подход. Известная китайская пословица гласит: «Скажи мне – я забуду, покажи мне – я запомню, вовлеки меня – я пойму».

Поэтому, чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств – моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия младшим школьником.

В структуре любой задачи выделяют:

• Предметную область, т.е. объекты, о которых идет речь в задаче.
• Отношения, которые связывают объекты предметной области.
• Требование задачи.

Чтобы было интересно всем, независимо от класса, в котором вы преподаете, я сегодня покажу применение моделирования для решения текстовых задач на разных этапах обучения.

Объекты задачи и отношения между ними составляют условие задачи.

Задача №1 (1 класс). Лида нарисовала 5 домиков, а Вова – на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?

Объектами являются:

• Кол-во домиков, которые нарисовала Лида (это известный объект в задаче)
• Кол-во домиков, которые нарисовала Вова (это неизвестный объект в задаче и согласно требованию искомый)

Данные объекты связывает в задаче отношение «больше на».

Структуру задачи можно представить с помощью различных моделей.

Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с реальными предметами, действиями с их уменьшенными образцами, моделями, а также с их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами и т.п. При этом рисунки могут изображать реальные предметы (людей, животных, растения, машины и т.п.) или же быть условными, схематическими, т.е. изображать реальные предметы условно, в виде различных фигур: квадратов, кружков, палочек, точек и т.п.

Все модели принято делить на схематизированные и знаковые. В свою очередь схематизированные модели бывают вещественными и графическими (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж).

Вернемся к нашей задаче №1 – графическая модель может быть выполнена

Процесс решения задачи можно рассматривать как процесс поиска системы моделей. Решить задачу – значит построить ее математическую модель. Итогом решения задачи будет знаковая модель, выполненная на математическом языке в виде выражения: 5 + 4.

Начиная с первого класса, я поступательно обучаю детей представлять конкретные объекты задачи в виде символической модели, помогаю отрабатывать навык перевода текстовой задачи на математический язык.

В ходе решения самых простых типов задач, у моих первоклассников появляется Памятка «Решение задач» и 1 часть Памятки «Типы задач», как помощник, для выполнения анализа и разбора текстовой задачи и построения схемы решаемой задачи, которая позволит наиболее полно и конкретно представить текст задачи и, что самое важное, дает реальную возможность наглядно увидеть и определить план ее решения, самостоятельно осуществить рефлексию выполненного задания.

В 1 и 2 классах чертеж дети выполняют с помощью отрезков, которые выполняются с использованием масштаба.

Практическое задание №1. Составим модель в виде чертежа к задаче (рабочие листы).

Для вязания пальто для дочки мама купила 8 мотков синей пряжи, а розовой – на 3 мотка меньше. Сколько мотков розовой пряжи купила мама?

В учебниках начальной школы в системе текстовых задач реализованы 3 основных отношения:

• Быть суммой (а + b = c)
• Быть разностью (c – а = b)
• Быть произведением (а x b = c)

Задача №2. Для новогоднего маскарада дети сделали 6 масок зверей и 3 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети?

1 этап: восприятие и ее осмысление.

Здесь применяем такие приемы:

• Чтение задачи.
• Повторение задачи в различных вариантах.
• Беседа по задаче с частичным анализом.
• Моделирование (рисунок, схема).

Основное отношение в этой задаче - «быть суммой».

2 этап: поиск решения задачи.

Цель этого этапа – выяснить зависимость между данными и искомыми. И уже на этом этапе мы моделируем условие задачи.

В данной задаче известна 1-я часть и 2-я часть, а искомое является целым. Получается модель в виде схемы №1.

Разбор задачи выполняется двумя разными способами:

• от вопроса к данным (анализ)
• от данных к вопросу (синтез)

Анализ и синтез при разборе неотделимы друг от друга и составляют единый аналитико-синтетический метод разбора, но для одних задач разбор идет с применением синтеза, а для других – анализа, более трудный. Применительно к нашей задаче разбор идет от вопроса к данным – чтобы найти целое, надо к первой части прибавить вторую часть.

3 этап: запись решения.

• Запись отдельных действий (с пояснением, без пояснений, с вопросами).
• Составление выражения.

Практическое задание №2. Учимся выполнять чертеж вместе.

Для посадки в школьном дворе приготовили 8 ёлок и 10 клёнов. На сколько ёлок посадят во дворе меньше, чем клёнов?

Отношение «на сколько больше/меньше» (задача на разностное сравнение).

Искомое число – «разность между числами» на схеме обозначается «разницей» длины отрезков (пунктирная линия отделяет одинаковую часть отрезков).

В 4 четверти 1 класса УМК «Школа России» появляться составные задачи, условие которых состоит из двух простых задач.

Задача №3. В магазине было 5 кг яблок и 8 кг груш. До обеда продали 7 кг фруктов. Сколько килограммов фруктов осталось?

В данном случае текст задачи разбивается на смысловые части, позволяющие уточнить значение каждого числа и его связи с данными и искомым.

В нашей задаче 1-ое основное отношение – а + b = c.

Яблоки и груши – это 1-я часть и 2-я часть. Чтобы продать 7 кг фруктов, надо найти сумму этих частей. Связь между данными установлена.

Выполняется модель в виде схемы:

Далее устанавливается связь между данными и искомым: «продали 7 кг фруктов». Достраиваем схему и отмечаем искомое.

– Как ответить на главный вопрос задачи? Какое действие нам в этом поможет? (вычитание)

Связи между величинами установлены за счет «оголения» данных задачи и их отношений.

Выделенные отношения изображены в символическом графическом виде (схема).

Практическое задание №3. Попробуйте сами составить модель в виде схемы.

На одной стене музейного зала висело 7 картин, а на другой – 9. На реставрацию сняли 8 картин. Сколько картин осталось висеть в зале?

Проверка.

В ходе разбора задачи у детей может появиться не один способ решения задачи. Тогда и схема будет другая.

Во 2 классе (1 четверть) начинается обучение решению задач на нахождение неизвестного слагаемого (части), уменьшаемого, вычитаемого. В этих текстовых задачах отношения между величинами регулируются правилами связи между компонентами действий сложения и вычитания.

На этом этапе начинаю обучать моделированию поиска решения задачи.
В данном приёме модель состоит из нескольких отрезков основного отношения, между которыми установлены знаки операций или знаки отношений. Отрезок выступает в роли объекта задачи и никак не связан с числовым значением, т.е. не масштабируется. Данная модель выполняется ручкой.

Рассмотрим отношение «быть разностью».

Задача №4. Бабушка испекла 12 блинов. После обеда осталось только 4 блина. Сколько блинов съели за обедом?

В данной задаче реализуется отношение «Быть разностью: c – а = b»

По опорным словам: «Было – съели – осталось» выполняется модель решения задачи:

По модели решения определяются величины (компоненты): уменьшаемое – вычитаемое – значение разности.

• выясняется искомое число
• устанавливается связь между компонентами: чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно их уменьшаемого вычесть значение разности
• выполняется решение: в начале 2-го класса – выражением 12 – 4=8(б.), а по мере изучения темы «Уравнение» – запись решения задачи в виде уравнения: 12 – х = 4.

Практическое задание №4. Попробуйте составить модель решения задачи.

Из 9 досок столяр сделал шкаф, а из оставшихся 7 досок – стол. Сколько досок было у столяра сначала?

Проверка.

Уже к концу 2 класса обучающиеся свободно определяют отношения «быть суммой», «быть разностью» и «быть произведением». При первичном чтении задачи, обучающиеся определяют, какое отношение в ней есть. Рассмотрим на примере простой задачи на умножение (2 класс).

Задача №5. В трёх вазах по 4 розы. Сколько роз в этих вазах?

Главное в задачах на умножение и деление, чтобы дети понимали, о чём говорится в задаче? Этот вопрос в Памятке выделен, от него зависит, правильность построения модели. В задаче говорится о вазах, в модели нужно обозначать вазы. К данной задаче можно сделать:

К простым задачам на деление я учу выполнять только условные рисунки, т.к. они помогают хорошо разобраться в 2-х типах задач: задачах на деление по содержанию и на части.

Задача 6. 10 туристов разместились в палатки по 5 человек в каждую. Сколько было палаток?

– О чём говорится в задаче? (о туристах) Каждого туриста обозначаем условным значком, например, точкой.

– Как разместили туристов? (в палатки по 5 человек)

Задача 7. 4 девочки поровну съели 8 груш. Сколько груш съела каждая девочка?

– О чём говорится в задаче? (о грушах)

Практическое задание 5. (работа в парах) Определите тип простой задачи на деление и выполните к ним условные рисунки.

Почтальон опустил 12 писем, поровну в 6 ящиков. Сколько писем в каждом ящике?	Купили 14 попугаев. Их разместили в клетки по 7 попугаев. Сколько понадобилось клеток?
Простая задача на деление на части.	Простая задача на деление по содержанию.

Задача №8. Для ремонта школы в первый день привезли 28 брёвен, а во второй день на 4 машинах по 10 брёвен на каждой. Сколько всего брёвен привезли за 2 дня?

Многие учителя к текстовым задачам выполняют словестную краткую запись задачи:

Такая форма записи не отражает жизненную ситуацию с достаточной наглядностью, что и приводит к ошибкам в решении:

Поэтому необходимо смоделировать ее условие в виде:

Чтобы самостоятельно решать, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой. Мои дети полюбили моделирование решения задачи (с помощью отрезков), которые помогают сразу записать решение выражением.

Практическое задание №6 (работа в парах)

Рассмотрим еще одну задачу, к которой вы попробуете сделать модель решения задачи с помощью отрезков.

Задача №9. Ученик решил задачу и 9 примеров. Над задачей он работал 15 минут, над каждым примером 2 минуты. Сколько времени затратил ученик на всю работу?

Данный прием составления «модели решения задачи» использую и при решении составных текстовых задач с действием умножением.

Задача №10. В школьном буфете было 3 тарелки с пряниками, по 9 пряников в каждой тарелке. Когда часть пряников продали, в буфете осталось 8 пряников. Сколько пряников продали?

Данные в модели записываются в соответствии с правилом конкретного смысла действия умножения – по 9 берем 3 раза.

По данной модели решения задачи установив связь между компонентами (задача на нахождение неизвестного вычитаемого) решение задачи записывается выражением: 9 х 3 – 8 =

Практическое задание №7. Попробуйте составить модель решения к задаче.

Хозяйка насушила летом 6 ниток грибов, по 9 грибов на каждой нитке. Сколько грибов уже съели, если осталось 15 грибов?

Проверка.

Следующее основное отношение «быть произведением» может быть проиллюстрировано прямоугольником, стороны которого изображают множители a и b, а S – произведение.

Отношение между объектами находится в зависимости: a х b = S

Задача №11. Внук поехал в гости к дедушке на поезде, скорость которого 80 км/ч. Как далеко жил дедушка от внука, если внук был в пути 7 часов?

- определяются величины:

• a – 1-й множитель (скорость поезда)
• b –2-й множитель (время в пути);

- искомое – произведение;

- устанавливается связь между компонентами: чтобы найти неизвестное произведение, нужно 1-мн-ль х на 2 мн-ль: V x t = S;

- выполняется решение: 80 х 7 = 560 (км)

Практическое задание №8. Составьте модель решения задачи.

В трех вагонах пассажирского поезда 168 мест. Сколько мест в одном вагоне, если в каждом вагоне одинаковое количество мест?

- определяем основное отношение: a х b = S, значит, модель будет в виде прямоугольника.

Проверка:

Данное отношение «быть произведением», которое реализуется в задачах с пропорциональными величинами, может быть проиллюстрировано треугольником, который делится на 3 части. Внизу треугольника обозначаются величины, например,

А вверху – стоимость, общая масса, общая выработка и т.п.

Задача №12. Одна матрешка стоит 50 рублей. Сколько стоят 3 матрешки?

Выполняя модель таким образом, дети

• не допустят ошибки в правильной постановке чисел при умножении,
• в наименовании стоимости.

По модели удобно составить задачи обратные данной и проследить соотношение между пропорциональными величинами.

Практическое задание №9. Попробуйте составить модель в виде треугольника к задаче.

Три арбуза весят 35 кг. Какова масса одного арбуза?

Обучать детей моделированию нужно с полного предметного изображения числового взаимоотношения величин, с демонстрации самого действия задачи.
Затем следует переходить к более обобщенному графическому моделированию, создаваемому на глазах у детей и самими детьми чертежа, схемы; после чего переходить к более высокой степени абстракции с применением готовых обобщенных опорных схем и таблиц.

Преимущества моделирования текстовых задач с помощью схем и чертежей перед кратким условием заключаются в следующем:

• Наглядное представление условия задачи. Это делает задачу понятной для каждого ученика и помогает воссоздать её условие, которое в начальном курсе математики отличается высокой степенью абстрактности.
• Выявление скрытых связей между величинами. Использование схем и чертежей помогает обнаружить те скрытые связи, которые трудно выявить при традиционном разборе задачи.
• Обоснованный выбор необходимого арифметического действия. Схема наглядно отображает взаимосвязи между данными и искомыми, что даёт возможность ученику просто сориентироваться в выборе необходимого математического действия.
• Повышение активности и гибкости мыслительной деятельности. Ученики побуждаются активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач.

Систематическое использование графического моделирования обеспечит более качественный анализ задачи, осознанный и обоснованный выбор необходимого арифметического действия и предупредит многие ошибки в решении задач учащихся.