Цели урока:

• Закрепить теоретический материал по теме “Прямоугольник. Ромб. Квадрат”.
• Совершенствовать навыки решения задач по теме.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Теоретическая самостоятельная работа

Заполнить таблицу, отметив знаки + (да), - (нет).

Правильные ответы:

Проверочный тест

Вариант 1.

1. Любой прямоугольник является:

а) ромбом; б) квадратом; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.

2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник - …

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.

3. Ромб – это четырехугольник, в котором …

а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;

б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;

г) нет правильного ответа.

Вариант 2.

1. Любой ромб является:

а) квадратом; б) прямоугольником; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа.

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм - …

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа.

3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором …

а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов;

в) два угла прямые и две стороны равны;

г) нет правильного ответа.

Ответы к тесту:

1 вариант: 1 – в); 2 – г); 3 – б).

2 вариант: 1 – в); 2 – а); 3 – а).

Проверка домашнего задания

III. Решение задач

Решение задач на готовых чертежах (устно)

1) Рис.1. АВСD – ромб. Найти: МD + DN.

Рис.1.

2) Рис.2. АВСD – ромб.  Найти: СВЕ.

Рис.2.

Ответы к задачам на готовых чертежах:

1) МD + DN = 6 см.

2) СВЕ = 15⁰.

Решение задач у доски с краткой записью

1) Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30⁰ меньше другого.

Рис.3.

Решение:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник АОВ – прямоугольный (рис.3). Пусть в ?АОВ АВО = х, тогда ВАО = х + 30⁰, значит АВО + ВАО = х + х + 30⁰ = 90⁰, и х = 30⁰.

АВО = 30⁰, ВАО = 60⁰, а т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ВАD = 120⁰, АВС = 60⁰.

Противолежащие углы в ромбе равны, тогда АDС = АВС = 60⁰, ВСD = BAD = 120⁰.

Ответ: 60⁰, 120⁰, 60⁰, 120⁰. Рис.3.

2) Угол между диагоналями прямоугольника равен 80⁰ . Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО = ВD/2 = АС/2 =АО и ?АОВ – равнобедренный (рис.4.), тогда ОАВ = ОВА = 50⁰. В прямоугольнике все углы прямые, тогда ОАD = ВАD - ОАВ = 90⁰ – 50⁰ = 40⁰.

Рис.4.

Ответ: 50⁰, 40⁰.

3) В ромбе ABCD биссектриса угла ВAC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите угол АNВ, если АМС = 120⁰ .

Решение:

В ромбе (рис.5.) противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е. ВАС = ВАD : 2 =ВСD : 2 = ВСА. Т.к. АМ – биссектриса ВАС, а ВАС = ВСА, то МАС = МСА : 2.

В треугольнике АМС МАС + МСА = 180⁰ - АМС = 180⁰ -120⁰ = 60⁰. МАС = МСА : 2, тогда МАС = 20⁰, ВАС = 40⁰.

Рис.5.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный, АВО = 90⁰ - ВАО = 50⁰. Рис.5.

В треугольнике АВN BAN = МАС = 20⁰, ABN = 50⁰, тогда

ANB = 180⁰ – (20⁰ + 50⁰) = 110⁰.

Ответ: ANB = 110⁰.

IV. Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой

1) В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, А = 31⁰. Найдите углы треугольника ВОС.

Рис.6.

Решение:

а) Рис.6. А = С = 31⁰; СО – биссектриса С, ОСВ = 15⁰30^';

б) Треугольник СОВ – прямоугольный, ВОС = 90⁰, ОСВ = 15⁰30^', ОВС = 74⁰30^'.

Ответ: 90⁰, 15⁰30', 74⁰30^'.

2) В прямоугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей, ВН и DЕ – высоты треугольников АВО и СОD соответственно, ВОН = 60⁰ , АН = 5 см. Найдите ОЕ.

 Решение:

а) Треугольник АВО – равнобедренный (рис.7.), ВО = ОА т.к. в прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, а т.к. ВОА = 60⁰, то ?АВО – равносторонний, поэтому высота ВН – медиана треугольника АВО, тогда ОН = 5 см.

б) Треугольник ОВН = треугольнику ОDЕ ( по стороне и двум прилежащим углам ВО = ОD, ВОН = DОЕ – вертикальные, ОВН = ОDЕ – накрест лежащие при параллельных ВН и DЕ и секущей ВD).

Рис.7.

Из равенства треугольников следует равенство сторон

ОН = ОЕ = 5 см.

Ответ: ОЕ = 5 см.

3) В ромбе АВСD угол В тупой. На стороне АD взята точка К, ВКАD. Прямые ВК и АС пересекаются в точке О, АС = 2ВК. Найдите угол АОВ.

Решение:

Рис.8.

а) Проведем АЕ АD (рис.8), тогда КВ = АЕ, АС = 2АЕ, АСЕ = 30⁰.

б) СОВ = 60⁰, АОВ = 120⁰.

Ответ: 120⁰.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание:

Докажите, что биссектрисы всех четырех углов прямоугольника (не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

Приложение.