Тема урока: Решение уравнений высших степеней различными способами (9 класс).

Цели урока:

• повторить алгоритм решения квадратных и биквадратных уравнений;
• познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней;
• способствовать развитию навыка решения уравнений высших степеней.
• развивать позитивные индивидуальные способности учащихся, интеллектуальную исследовательскую культуру.

ХОД УРОКА

1. Учитель. Уравнение одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют:

• метод разложения левой части уравнения на множители;
• метод замены переменной (метод введения новой переменной);
• графический способ.

2. Устная работа

а) Определение уравнения, корня уравнения.

Что значит решить уравнение?

Какие существуют способы решения уравнений второй степени?

б) Решите уравнения.1) 463x² - 102x - 361 = 0;

2) 4x⁴ - 3x² - 1 = 0.

в) Является ли 17 корнем уравнения

x³ - 19x² + 213x - 1000 = 0.

Ответ. Нет, так как левая часть равенства

17³ - 17² · 19 + 17 · 213 = 1000 кратна 17, а правая нет.

г) Докажите, что уравнение x⁴ - 2x² - 2x + 1 = 0 не имеет отрицательных корней.

3. Учитель. Однажды в ноябре 1594 года во дворе Генриха 4 (Франция) Нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика Адриска Ван Ромена. Это был вызов математикам всего мира. Речь шла о решении уравнения 45 - й степени. В списке тех, кому следовало направить его научный вызов, Ван Ромен не указал ни одного француза и посланник заметил, что по видимому, во Франции нет математиков. "Но почему же? - возразил король. У меня есть математик и весьма выдающийся". Он послал за Виетом Франсуа (1540 - 1603 г.). Один корень Виет нашел сразу же, а на следующее утро представил 22 решения этого уравнения.

4. Учитель. Лучший способ научиться решать уравнения состоит в том, чтобы эти уравнения решать самому. Желательно научиться решать уравнения третьей, четвертой и более высоких степеней.

Продолжим изучение новых способов решения уравнений.

Пример 1. Решите уравнение x³ - 3x - 2 = 0 различными способами (ученики решают самостоятельно).

а) Разложим левую часть уравнения на множители.

x³ + x² - x² - x - 2x - 2 = (x + 1)²(x - 2); (x + 1)²(x - 2) = 0; x = - 1, x = 2.

б) Воспользуемся тем, что любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена (следствие теоремы Безу (1730-1783)).

Среди делителей свободного члена ± 1; ± 2 находим корни уравнения.

в) Графический способ (демонстрирует учитель с помощью графопроектора).

Перепишем в виде x³ = 3x + 2. На одной координатной плоскости строим графики функций у = x³ и у = 3x + 2. Графики функций пересеклись в двух точках, абсциссы которых - 1 и 2.

Пример 2. x⁴ - 2x³ - 3x² + 4x + 4 = 0.

Уравнение x⁴ - 2x³ - 3x² + 4x + 4 = 0 удобно решать выделением полного квадрата (метод Феррари (1522-1565) в честь итальянского математика).

x⁴ - 2x³ + x² - 4x² + 4x + 4 = 0; (x² - x)² - 4(x² - x) + 4 = 0.

Вводим замену t = x² - x и решаем уравнение t² - 4t + 4; t = 2; x = - 1 или x = 2.

Пример 3. (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40.

Уравнение вида (x - а)(x - b)(x - с)(x - d) = m, m = / = 0 сводится к биквадратному, при выполнении одного из условий a + b = c + d или а + с = b + d или a + d = b + c.

В нашем случае 1 + 5 = 2 + 4.

а) Введем замену t = x + 3, тогда x = t - 3.

Перепишем уравнение (t - 2)(t - 1)(t + 1)(t + 2) = 40,

t⁴ - 5t² - 36 = 0; t = ±3; x = - 6; x = 0.

б) (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40,

(x² + 6x + 5)(x² + 6x + 8) = 40,

Заменим x² + 6x = t и решим уравнение t² + 13t = 0.

Пример 4. 6x⁴ - 35x³ + 62x² - 35x + 6 = 0.

Уравнение 6x⁴ - 35x³ + 62x² - 35x + 6 = 0 называется симметричным (возвратным).

Возвратные уравнения: аx⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0. Т.к. x =/= 0, то обе части уравнения делим на x² и группируем члены с одинаковыми коэффициентами.

а (x² + ) + b (x + ) + c = 0.

Разделим обе части уравнения на x² (x =/= 0) и сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами

6 x² - 35x + 62 - 35 • + 6 • = 0,

6 (x² + ) - 35(x + ) + 62 = 0.

Введем замену x + = t, тогда x² + = t² - 2.

Решим уравнение 6t² - 35t + 50 = 0, t = , t = .

x = ; x = ; x = 2; x = 3.

Пример 5. + = 3.

а) При x=/= - 3, x=/= ± получим уравнение

x⁴ - 4x³ - 31x² + 46x + 168 = 0.

Используя следствие теоремы Безу наxодим корни уравнения.

б) Решим это уравнение нестандартно.

Перепишем уравнение в виде

- 4 + + 1 = 0;

+ = 0;

(x² - 5x - 14) ( + ) = 0, x =/= - 3, x =/= ±.

x² - 5x - 14 = 0 или x ² + x - 12 = 0.

Решая квадратные уравнения, получим x = - 4, x = - 2, x = 3, x = 7.

Пример 6. (x + 2)² + (x + 3)³ + (x + 4)⁴ = 2.

Перепишем уравнение так:

(x + 2)² - 1 + (x + 3)³ + (x + 4)⁴ - 1 = 0.

(x + 1)(x + 3) + (x + 3)³ + (x + 3)(x + 5)(x² + 8x + 17) = 0.

После преобразований получим

(x + 3)(x + 5)(x² + 9x + 19) = 0.

x = - 5, x = - 3, x = ; x = .

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание

Решить уравнения:

а) x⁵ + x⁴ + 1 = 0.

б) (x + 1)⁴ + (x + 2)³ = 1.

в) Решить графически уравнение - 1 - (x + 1)³ = 0.

Литература.

1. М.Л. Галицкий и др. "Сборник задач по алгебре для 8 - 9 кл." М.: Просвещение, 1995 г.

2. Л.М. Поповок "1000 проблемных задач по математике". М.: Просвещение, 1995 г.

3. Л.Ф. Пичурин "За страницами учебника алгебры". М.: Просвещение, 1995 г.

4. Н.Я. Виленкин и др. "За страницами учебника математики". М.: Просвещение, 1996 г.