Рассмотрим один из методов решения заданий ЕГЭ, который очень полезно знать и которому уделяется очень мало времени на уроках в школе: обобщённый метод интервалов для решения различных неравенств.

Напомним сущность обобщённого метода интервалов: для решения любого неравенства (например, неравенства ), необходимо проделать следующие действия: перенести всё влево, привести к общему знаменателю (то есть ). Затем необходимо:

а) найти нули числителя (то есть решить уравнение );

б) найти нули знаменателя (то есть решить уравнение );

в) найти граничные точки области определения (например, если в неравенстве есть функция , то область определения , сначала надо решить уравнение ; если в неравенстве есть функция , то область определения значит, сначала надо решить уравнения , , ; если в неравенстве есть функция , то область определения , значит, сначала решаем уравнения , и т. д.). После этого надо отметить полученные точки на оси . Из методов математического анализа (см. [1]) следует, что функция, стоящая в левой части решаемого нами неравенства в каждом из получившихся интервалов либо сохраняет знак, либо не существует. Для получения правильного ответа необходимо заштриховать нужные нам интервалы и проверить отдельно все граничные точки.

Продемонстрируем суть метода на одной из задач С3 варианта ЕГЭ-2013.

1. Решить неравенство .   (1)

Решение. Преобразуем неравенство (1) по формуле перехода к другому основанию:

   (2)

Находим нули числителя неравенства (2): . Нули знаменателя неравенства (2): . Граничные точки области определения: , отметим точку , , значит, отметим точки и .

В результате получили семь интервалов: (на них наша функция не определена), (на них определена), (функция не определена). Определяем знаки на каждом из получившихся интервалов: . Значит, ответ: .

Литература

Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ (в двух томах). – М.: ТК Велби, Проспект, 2006.