В школьном курсе математики значительное место занимает раздел по тригонометрии. Одной из тем является «Решение тригонометрических уравнений». Изучение ее вызывает значительные затруднения у обучающихся и учителей. Особую трудность представляет поиск решения уравнения, удовлетворяющим заданным условиям. В связи с тем, что уравнения такого типа все чаще включаются в тесты ЕГЭ, необходимо больше внимания уделять обучению приемам отбора корней тригонометрических уравнений.
Для успешного выполнения задания такого типа на ЕГЭ предлагаются некоторые способы отбора корней тригонометрического уравнения. Важно еще и то, чтобы у обучающихся были хорошо отработаны первичные знания и умения по основам тригонометрии. А также, могли хорошо владеть навыками решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств, умели применять тригонометрические тождества, решать двойные неравенства, оценивать значение иррационального числа.

1. Прием перевода в градусную меру:

Найти корни уравнения Sinx = 1/2, удовлетворяющих условию х€ (-3/2π; 5/2π)
Решение. Корни уравнения имеют вид: х = π /6 + 2nπ (n € Z), х = 5/6π + 2nπ
Условие х € (-3/2π; 5/2π) в градусах выглядит в виде х € [ -270°; 450°]. Легко видеть,что указанному промежутку принадлежат следующие значения: 30° и 150° при n = 0 и -210° и 390° при n = 1.
Этот способ полезен для обучающихся, которые плохо оперируют с радианами.

2. Прием двойных неравенств (способ оценки):

Найти решение уравнения принадлежащие промежутку

Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку

Воспользуемся для этого методом двойных неравенств ( и - целые числа).

1)
2)

3. Способ движения по единичной окружности:

Решить уравнение
Укажите корни, принадлежащие отрезке
Решение. Ограничения на переменную в этом уравнении:

Используем замену переменной: Тогда уравнение принимает вид:

Переходим к обратной замене:

Осуществляем отбор решений с использованием единичной окружности.

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий:
Ответ:

Способ оценки двойного неравенства, способ движения по окружности, прием перевода в градусную меру - описанные выше, могут помочь при решении тригонометрических уравнений с выбором корней.В процессе обучения решению задач, в которых требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, с учениками следует обсудить разные способы выполнения этого действия, а также выяснить случаи, когда тот или иной способ может оказаться наиболее удобным или, наоборот, непригодным.