Цель урока: систематизировать различные подходы к решению задач на "Сплавы, смеси и концентрации".

Задачи:

• Познакомить с основными положениями, формулами, теоретическими обоснованиями и методическими комментариями к решению задач на сплавы.
• Сформировать умения решения задач на сплавы.
• Показать различные способы решения задач.
• Научить анализировать условие задачи в плане выбора оптимального способа решения.
• Подготовить учащихся к решению задач названного типа из КИМов ЕГЭ.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

Вступительное слово учителя: В школьных учебниках тема «Сплавы, смеси и концентрации" практически не затрагивается. Ограниченное число решенных задач не позволяет всем выпускникам самим увидеть закономерности и осуществить «перенос» знаний на другую ситуацию. Большое внимание решению таких задач уделено на различных сайтах Интернета, где виртуальные репетиторы и сайты по подготовке к ЕГЭ дают различные подходы к решению задач названного типа и предлагают выпускникам не отказываться от решения таких задач, так как трудности при их решении вполне преодолимы. Предлагаю вам сегодня поработать над данной темой и оценить свои возможности при решении задач.

Решите задачи:

А) На базу привезли 96 т капусты. 20% всей капусты отправили в магазин. Сколько тонн капусты осталось? Ответ: 76,8 т.
Б) Тракторная бригада вспахала 24 га земли, что составило 15% площади всего поля. Какова площадь поля? Ответ: 160 га.
В) В цехе работают 60 рабочих, из них 36 фрезеровщиков. Сколько процентов от всего числа рабочих составляют фрезеровщики? Ответ: 60%.
Вопросы классу:

• Что является алгебраической основой решения таких задач? (Ответ: знания о пропорции и ее свойствах, понятие процента, простейшие задачи на проценты).
• Какие еще умения и навыки вам потребуются для решения задач по теме «Сплавы»? (Ответ: умение составлять уравнения или системы уравнений, исходя из условия задачи и решать их).

3. Основная часть. Решение задач по теме «Сплавы»

3.1. Вопросы классу:

1) Что будет являться предметом изучения нашей темы? (Ответ: текстовые задачи по математике по теме "Сплавы, смеси и концентрации".)

2) Объектом изучения темы? (Ответ: систематизация способов решения задач названного типа.)

3) К какому результату мы с вами должны прийти? Предложите гипотезу.

(Ответ: Гипотеза: если систематизировать предлагаемые способы решения задач и выработать алгоритм по их анализу и решению, то изучение данной темы позволит нам освоить данную тему.)

Содержание КИМов по математике подтверждают необходимость изучения этого материала в программе по математике в старшей школе.

3.2. Задачи на сплавы

Рассмотрим смесь двух компонент А и В. Масса смеси складывается из масс чистых компонент:m = m_A + m_B.
Отношения С_А = , C_B = показывают, какую часть полной массы смеси составляют массы отдельных компонент и называются массовыми концентрациями этих компонент. Концентрация - это безразмерная величина; сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, очевидно, равна единице

С_А + С_B = 1.

Процентным содержанием компонент А и В называются величины

Р_А = С_А ^. 100 %,
Р_B = С_B ^. 100 %,

т.е. концентрации этих веществ, выраженные в процентах.

Задача 1. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, в во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди.

Решение

В I-ом сплаве массы меди и цинка находятся в отношении 2:1, а во втором - в отношении 1:5. Следовательно, концентрации меди и цинка в первом сплаве:

С'_м = , С'_ц = .
Аналогично для второго сплава имеем:
С"_м=; С"_ц=.
Если взять хкг первого сплава и укг второго сплава, то в новом сплаве будет кг меди и кг цинка.

По условию, в новом сплаве цинка будет в 2 раза больше, чем меди, т.е. =>

т.е. 2х = у => .

Следовательно, у > х в 2 раза. Ответ: в 2 раза больше следует взять II-го сплава.

Задача 2. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После совместной переплавки 10 кг первого сплава и 16 кг второго сплава, и нескольких кг чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2. Определить вес нового сплава.

Решение:

С - массовая концентрация

Сcu = в I сплаве, а во II сплаве Сcu =
Сzn = в I сплаве, а во II сплаве Сzn =
10 ^. = 8 кг - Cu в I сплаве
16 ^. = 4 кг - Cu во II сплаве
10 ^. = 2 кг - Zn в I сплаве
16 ^. = 12 кг - Zn во II сплаве
Пусть х чистой меди добавили в III сплав.
8 + 4 + х = (12 + х) кг Cu в III сплаве
Зная, что в III сплаве медь и цинк относятся как 3:2, можно составить уравнение:


х = 9 кг чистой меди добавили в III сплав
10 + 16 + 9 = 35 кг. Ответ: 35 кг вес нового сплава.

Задача 3. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько кг каждого сплава надо взять, чтобы после совместной переплавки получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Решение.

Пусть I сплава х кг, тогда II сплава (28 - х) кг.
- содержание меди в I сплаве
- содержание цинка в I сплаве
- содержание меди во II сплаве
- содержание цинка во II сплаве
- попало меди в III сплав
- попало цинка в III сплав
Т.к. в третьем сплаве равное содержание медь и цинка, составим уравнение:

5х + 3(28 - х) = 2х + 4(28 - х)
5х + 84 - 3х = 2х + 112 - 4х
2х + 84 = 112 - 2х
4х = 28
х = 7 кг
Первого сплава нужно взять 7кг.
28 - 7 = 21 кг нужно взять II сплава. Ответ: для совместной переплавки нужно взять 7 кг I сплава и 21 кг II сплава.

Задача 4. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное серебра, первоначального содержания в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава?

Решение.

Пусть Cu - х кг, тогда Ag - (х + 1845) г.
Весь сплав - (2х + 1845) г.
К сплаву добавили (х + 1845) ^. = (х + 615) г Ag.
Стало (х + 1845 + х + 615) = (х + 2460) г Ag.
Получили новый сплав:
(2х + 1845 + х + 615) = (х + 2460) г.
Массовая концентрация Ag - 83,5% = .
Составим уравнение:

х ^. 200 + 2460 ^. 200 = х ^. 167 + 2460 ^. 167

х = 2460 ^. 33
х =
х = 660 г - Cu в сплаве
2 ^. 660 + 1845 = 3165 г - весь сплав. Ответ: масса сплава 3165 г.

Задача 5. Вычислить вес и процентное содержание серебра в сплаве с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав, содержащий 84% серебра.

Решение.

Пусть х (кг) - серебро в первоначальном сплаве,
у (кг) - медь,
(х + у) кг - I сплав,
(х + у +3) кг - II сплав, добавили 3 кг серебра.
1) - содержание серебра во II сплаве
х = 9у - 3
2) 2 ^. 0,9 = 1,8 кг - количество серебра в 2 кг III сплава
3) - количество серебра в IV сплаве
у = 0,6 кг - медь в I сплаве
х = 9 ^. 0,6 - 3 = 2,4 кг - серебро
4) C_ag = ^. 100% = 80%. Ответ: 2,4 кг серебра, C_ag = 80%.

3.3. Рассмотрим еще один из способов решения задач методом "прямоугольников", который соответствует представлениям о процессе сплавливания. Метод позволяет компактно и наглядно представить эти процессы, упрощая составление уравнения.

Задача 6. Имеется два сплава с различным процентным содержанием свинца. Вес одного 6 кг, вес другого 12 кг. От каждого отрезали по куску равного веса, после чего их сплавили с остатком другого куска. В результате процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый отрезанный кусок?

Решение.

Пусть х - масса каждого отрезанного куска.
Обозначим х_А - массу куска, отрезанного от сплава А, а х_В - от сплава В.
Нарисуем схему.

Одинаковое процентное содержание свинца в обоих полученных сплавах возможно только при условии, когда количество сплава А и сплава В в слитках пропорционально. Составим пропорцию:

(6 - х) ^. (12 - х) = х²
х² - 18х + 72 = х²
18х = 72
х = 4 (кг) - масса каждого отрезанного куска. Ответ: 4 кг.

Задача 7. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

Решение

х - количество первого сплава в новом куске.
у - количество второго сплава в новом куске.
х - количество первого металла в первом сплаве.
у - количество первого металла во втором сплаве.
х + у - количество первого металла в новом куске.
(х + у) - количество первого металла в новом куске.
Получаем уравнение:
х + у = (х + у)
Решаем его:

220х + 264у = 255х + 255у
220х + 264у - 255х - 255у = 0
- 35х = - 9у
у = х
Ответ: чтобы получить новый сплав, надо взять 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.

Выводы. Видим, что в основном при решении задач все уравнения - линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на сплавы считаются доступными.

4. Задачи для самостоятельного решения

1. Имеются три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% меди, второй - 10% меди и 90% марганца, третий - 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. В каком соотношении следует взять эти сплавы, чтобы в новом сплаве содержание меди было 40%?

2. Из двух сплавов меди, первый из которых содержит 7 кг меди, а второй 8 кг. Меди получили новый сплав, содержащий 18% меди. Каково процентное содержание меди в первом сплаве на 20 больше, чем во втором?

Литература к уроку.

1. Бесчетнов В.М. Математика. Курс лекций для учащихся 7-11 классов. Т.1,2. М., 1994.
2. Залогин Н.С. Конкурсные задачи по математике. Киев., 1994.
3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. В 2-х кн. Кн.1 Алгебра/ Под ред. Сканави. М.,1995.
4. Семенко Е.А. и др.Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2005.Ч.1. - 156с
5. Семенко Е.А. и др.Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ - 2008 по математике.. Краснодар: «Просвещение-Юг», 2008.Ч.2. - 103с
6. Черкасов О., Якушев А. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. М., 1999.
7. Сайты Интернета:
   • http://viripit.ru/Pag2_1.htm
   • http://www.berdov.com/ege/text_problem/mixture/
   • http://www.вматематике.рф/uchimsya-reshat-zadachi-na-rastvory-smesi-splavy/