Цели урока:

Образовательные:

- Обобщить и систематизировать умения и навыки по теме "Квадратичная функция".

Развивающие:

- Развивать логическое мышление, культуру речи, способствовать расширению кругозора, развитию математической речи.

Воспитательные:

- Развивать творческое и умственное мышление побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу, воспитание эстетических качеств.

Оборудование: мультимедийный проектор и компьютер, презентация "Квадратичная функция" (Приложение).

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация знаний и умений.

Устно:

1) Какая функция называется квадратичной?

Планируемый ответ: Квадратичной функцией называется функция вида y = ax² + bx + c , где x -переменная, a, b и с - заданные действительные числа, причем, а ? 0.

2) Найти координаты вершины параболы y = x² - 4x - 5.

Планируемый ответ: вершина параболы (2; - 9).

3) Найти нули функции y = x² - 4x - 5.

Планируемый ответ: нули функции: (5; 0); (- 1; 0).

4) Найти координаты точек пересечения параболы y = 2x² - 8 с осями координат.

Планируемый ответ: С осью Ох (- 2; 0) и (2; 0); с осью Оу (0; - 8).

5) Найти наибольшее или наименьшее значение функции y = x² - 4x - 5.

Планируемый ответ: - 9 - наименьшее значение функции.

6) Вспомним способы построения графика квадратичной функции.

Планируемый ответ: построение с помощью схемы и смещения.

7) Вспомним построение графика с помощью смещения.

Планируемый ответ: Построить график функции y = ax². Сдвинуть график функции y = ax² вдоль оси абсцисс вправо на x₀, если x₀ > 0 и влево на x₀, если x₀ < 0. Вдоль оси ординат вверх на y₀, если y₀ > 0, и вниз на y_0, если y₀ < 0 (слайд 2 - 4).

3. Выполнение уч-ся индивидуально письменного задания.

№1 С помощью шаблона построить график функции а) у = (х - 3)²; б) у = - х² + 1; в) у = (х + 2)² + 1 (самостоятельно с последующей проверкой):

Проверка

а) у = (х - 3)² (График функции у = (х - 3)² является парабола, полученная из параболы у = х² сдвигом на 3 единицы вправо) (слайд 5).
б) у = - х² + 1 (График функции у = - х² можно получить с помощью симметрии относительно оси Ох графика функции у = х² (слайд 5)).
в) у = (х + 2)² + 1 (График функции у = х² смещается на 2 единицы влево и единицу вверх) (слайд 5).

Устно:

1) По данному графику квадратичной функции выяснить её свойства (слайд 6).

Планируемые ответы:

а) При любых значениях х значения функции больше или равны -4;
б) Значения функции положительны при х < 0 и х > 5;
в) Значения функции отрицательны при 0 < x < 5,
г) Значения функции равны нулю при х = 0 и х = 5;
д) Функция возрастает на [2.5; ), убывает на (-; 2.5];
е) При х = 2,5 функция принимает наименьшее значение, равное -4;
ж) Точки пересечения параболы с Ох - (0;0) и (5:0); с осью Оу - (0;0);
з) График функции симметричен относительно прямой х = 2,5.

2) Вспомним построение графика с помощью схемы.

Планируемый ответ:

а) Указать направление "ветвей".

б) Найти вершину параболы (х₀; у₀). Провести ось симметрии х = х₀.
в) Найти нули функции, если они есть.
г) Найти точку пересечения с осью ординат.
д) Найти какие-нибудь дополнительные точки;
е) Отметить точки и провести через них параболу.

3) Разберем построение графика на примере функции y = x² - 4x + 3 (слайды 7, 8).

4. Закрепление пройденного материала.

№2. Построить график функции и по графику выяснить её свойства (Рассмотреть два способа построения графиков):

а) у = х² + 10х + 30

I Способ - Построение с помощью схемы (ученик у доски, затем проверить слайды 9, 10).

1) "Ветви" направлены вверх, т.к. а=1;
2) Найдем вершину параболы:
х₀ = -10/2 = -5; у₀ = (-5)² + 10 * (-5) + 30 = 5; (-5; 5) - вершина;
3) Нули функции не существуют, т.к D < 0;
4) Найдем дополнительные точки:
х = - 4; у = 6; (-4; 6) и точка симметричная ей (-6; 6);
х = -3; у = 9; ( -3; 9); и точка симметричная ей (-7; 9);

Построим параболу, соединив эти точки (слайды 9, 10).

Выяснить её свойства.

Планируемые ответы:

а) При любых значениях х значения функции больше или равны 5;
б) Значения функции положительны при любом х;
в) Функция возрастает на [5; ), убывает на (-; 5];
г) Значения функции равны нулю при х = 0 и х = 5;
д) При х = 5 функция принимает наименьшее значение, равное 5;
е) График функции симметричен относительно прямой х = 5.

II Способ - Построение с помощью смещения (другой ученик у доски отвечает, затем проверить (слайд 11)).

Преобразуем нашу функцию.

y = (x + 5)² + 5

(График функции у = х² смещается на 5 единицы влево и 5 единиц вверх) (слайд 11).

б) у = -х² - 6х - 8; (самостоятельно, затем проверить).

Построение с помощью схемы (слайд 12 - 13):

1) "Ветви" направлены вниз, т.к. а = -1;
2) Вершина параболы:
х₀ = - (-6) / (-2) = - 3; у₀ = -(-3)² - 6*(-3) - 8 = 1; (3; 1)-вершина. Ось симметрии х = 3;
3) Нули функции: у = 0; х₁ = - 4; х₂ = 2; (-4; 0) и (-2; 0);
4) Точка пересечения с осью ординат - (0; -8); и симметричную ей точка - (-6; -8);

Построим параболу, соединив точки.

Второй способ - построение с помощью смещения:

y = -(x 3)² + 1 (слайд 14).

Устно:

1) Повторить простейшие преобразования графика функции (растяжение, сжатие и отображение графиков функций). (слайд 15).
Отметить сходные и отличительные свойства этих графиков.
2) Обсуждение решения задач: "Нахождение координат точек пересечения параболы с осями координат" (аналитический способ и графический, их недостатки и преимущества, в зависимости от ситуации, алгоритм решения).

№3. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат (самостоятельно с последующей проверкой).

а) y = -2x² - 8x + 10

С осью Оу:
х = 0; у = 10; (0; 10);

С осью Ох:
у = 0; -2x² - 8x + 10 = 0;
x² + 4x - 5 = 0;
x₁ = -5; х_" = 1;
(-5; 0); (1; 0)- точки пересечения.

Ответ: (0; 10) точка пересечения. с осью Оу; (-5; 0); (1; 0) - точки пересечения с осью Ох.

б) y = 7x² + 14;

С осью Оу:
х = 0; у = 14; (0;14);

С осью Ох:
y = 0; 7x² + 14 = 0;
x² + 2 = 0;
Корней нет.

Ответ: (0;14) - точка пересечения c осью Оу; С осью Ох - не пересекается.

Устно:

1) Обсуждение решения задачи "Нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции"; (аналитический способ и графический, их недостатки и преимущества, в зависимости от ситуации, алгоритм решения).

№4. Не строя графика функции, найти ее наибольшее или наименьшее значение:

2) у = - х² - 2х + 3;
х₀ = - 1; у₀ = 4; (-1;4);

Ответ: 4 - наибольшее значение функции.

4) y = x² + ;
х₀ = -0,5; у₀ = 1; (-0,5;1);

Ответ: 1 - наименьшее значение функции.

Устно Обсуждение решения задачи "Нахождение точек пересечения графиков" (графический, аналитический).

№5. Найти точки пересечения графиков (аналитически):

а) у = х²; у = 3х - 2;

Приравняем левую и правую части и решив уравнение найдем абсциссу точки:

х² - 3х +2=0;
х₁ = 2; х₂ = 1;
у(2) = 2 * 2 = 4; у(1) = 1 * 1 = 1
(2; 4);(1; 1)- точки пересечения графиков;

4) у = х² + х - 2 ; у = (х + 3)(х - 4);

Приравняем левую и правую части и решив уравнение найдем абсциссу точки:

х² + х - 2 = х² - х - 12;
2х = - 10;
х₁ = - 5; у(-5) = (-5)² - 5 - 2 = 18
(-5; 18); - точка пересечения графиков;

Ответ: 2) (2; 4);(1; 1) - точки пересечения графиков; 4) (-5; 18);- точка пересечения.

5. Подведение итогов (характеристика работы учащихся, определение типичных ошибок и пробелов в знаниях и умениях, а также путей их устранения и совершенствования).

6. Постановка задания на дом.

Приложения

• pril.PPT (243.71 КБ)