1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СПОСОБЫ ЕЕ ЗАДАНИЯ

Определение 1

Функцию вида , I N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают или .
Обозначение: .

Способы задания последовательностей:

Словесный - правило задания последовательности описано словами, без указания каких - то формул.

ПРИМЕР 1. Задана последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Аналитический - последовательность задана формулой ее n - го члена.

ПРИМЕР 2. Задана последовательность : 1, 4, 9, 25, 36, 49, …, n², …

Рекурентный - указано правило, позволяющее вычислить n - ый член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

ПРИМЕР 3. Задана последовательность соотношениями: а = а₁, а_{n + 1} = a_{n + d}, где a и d - некоторые числа, d - разность арифметической прогрессии.

2. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Определение 2

Последовательность называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Последовательность ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется < М. Число М называют верхней границей последовательности.

ПРИМЕР 4. Последовательность -1; -4; -9; -16; …; -n²; ….ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

-16 -9 -4 -1 0 х

Определение 3

Последовательность называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Последовательность ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется у_n > m. Число m называют нижней границей последовательности.

ПРИМЕР 5. Последовательность 1; 4; 9; 16; …; n²; … ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше, чем 1, например 0.

1 4 9 16 х

Определение 4

Последовательность называют ограниченной, последовательность ограничена и сверху, и снизу.

ПРИМЕР 6. Последовательность 1; ; ; ; …; ; …. Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы - число 0.

0 1 х

Определение 5

Последовательность ( уn ) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего: у ₁ < у ₂ < у ₃ < у ₄ < … < у_n < у_{n+ 1} < ….

ПРИМЕР 7. Последовательность 1, 3, 5, 7, …, 2_{n - 1}; … - возрастающая.

Определение 6

Последовательность ( уn ) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: у ₁ > у ₂ > у ₃ > у ₄ > … > у_n > у_{n+ 1} > …

ПРИМЕР 8. Последовательность 1; ; ; ; …; ; … - убывающая.

Если а > 1, то последовательность уn = аn возрастает; если 0 < а < 1, то последовательность у_n = аⁿ убывает.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином - монотонные последовательности.

Определение 7

Последовательность, члены которой не изменяются с изменением номера, называется постоянной (или стационарной).

ПРИМЕР 9. Последовательность 1; 1; 1; 1; 1; … - постоянная (или стационарная).

Приложение

Приложения

• pril.docx (255.12 КБ)