Задание 1. Докажите тождество.

Доказать данное тождество – значит показать, что при любом значении х значение функции равно .

Найдем производную функции:

Так как при любых действительных х, то функция постоянна на множество R; найдем эту постоянную, вычислив значение функции f, например, в точке х=0.

Итак, на множестве R данное равенство является тождеством.

Задание 2. Найдите сумму.

Немного изменим формулировку задания и найдем значение функции

В точке х=3. Легко заметить, что

Рассмотрим теперь функцию

Так как Слагаемые функции S(x) образуют геометрическую прогрессию, первый член которой х, последний , знаменатель х. Функция S(x) – сумма геометрической прогрессии, то есть

Ответ:

Задание 3. Докажите, что

при (неравенство Бернулли).

Данное неравенство равносильно неравенству

Рассмотрим функцию

Она определена при и непрерывна как сумма непрерывных функций. Наша задача доказать, что при

Заметим, что при х = 0 , то есть неравенство верно при х = 0. Остается доказать, что при , то есть что функция f(x) возрастает на интервале

Но если , тогда , то есть , а это означает, что функция возрастает.

Значит,

Задание 4. (Устно.) Докажите, что ни одна касательная к графику не параллельна на оси х.

Допустим, что существует хотя бы одна касательная к графику данной функции, параллельная на оси х. Тогда , чего не может быть, так как дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен.

Задание 5. При каких действительных значениях b уравнение имеет корни?

Найдем ОДЗ данного уравнения, для чего решим систему

На отрезке рассмотрим функцию и найдем ее производную.

Найдем точки на отрезке , в которых эта производная равна нулю.

Найдем значение функции f(x) в точке и на концах отрезка .

,

,

Учитывая, что функция f(x) непрерывна на отрезке (как сумма непрерывных функций), ее наибольшим значением будет , а наименьшим . Но так как функция f(x), непрерывна, то область ее значений целиком лежит между наименьшим и наибольшим значениями и представляет собой отрезок . Следовательно, b, стоящее в правой части уравнения, должно принимать значения из этого промежутка.

Ответ: решение при .

Задание 6. Решить неравенство

Рассмотрим функцию Найдем участки возрастания и убывания функции.

. Пусть , тогда квадратный трехчлен при любом действительном t, так как его дискриминант отрицательный, а старший коэффициент положительный. Значит, для каждого действительного х. Таким образом, функция при , заключаем, что решениями неравенства являются все числа из промежутка .

Ответ: .

Cм. Применение производной в геометрии.

Cм. Физические задачи на экстремум функции.