Цели и задачи урока.

• Систематизировать знания о способах решения логарифмических уравнений.
• Развивать внимание, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитание культуры речи.

Методический комментарий: Логарифмические уравнения и системы уравнений всегда есть в заданиях ЕГЭ. Поэтому, школьник должен иметь четкое представление о том, что все логарифмические уравнения, какой бы степени сложности они ни были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы даются на данном уроке. Их немного: всего пять. Если их освоить, то решение уравнения с логарифмами становится вполне посильной задачей для многих.

Ход урока

1. Организационный момент.

Начиная урок, учитель излагает школьникам все сказанное выше, формируя, таким образом, мотивацию к внимательному восприятию материала урока. Затем школьники записывают заголовок урока: Способы решения логарифмических уравнений.

2. Способы решения логарифмических уравнений.

Учитель называет способ, школьники записывают его название и решают совместно с учителем соответствующие уравнения. Работа идет фронтально.

1. По определению логарифма.

Пример 1:

ОДЗ: => => х (0,5; +оо)

Используем определение логарифма: логарифм - это показатель степени.

(2+х)²=2х²+3х-2

х² + 4х + 4 = 2х² + 3х - 2

х² - х -6 =0 его корни по теореме Виета: 3 и -2

Число - 2 не входит в ОДЗ, значит, ответ: х = 3.

Пример 2:

ОДЗ: => => х (1,2) (2,7)

Применим определение логарифма несколько раз последовательно, начиная с внешнего логарифма.

(х-1)²=(7-х)

х²-2х+1=7-х

х²-х-6=0

По теореме Виета его корни: 3 и -2. Число - 2 не входит в ОДЗ.

Ответ: х = 3.

2. Применение свойств логарифма.

Свойства логарифма:

log _аb + log _аc = log _аbc 
                          Ь
log_a Ь - log _a с = log_a

Пример: lg х - lg (2х - 5) = lg 8 - 2 lg

ОДЗ: => х (3;+оо)

Применим свойства логарифма, а также ранее применяемые формулы вынесения показателей степеней из под логарифма (внесения множителей в логарифм).

т.к. справа и слева в равенстве одинаковые десятичные логарифмы, значит, и под логарифмами выражения равны между собой:

воспользуемся свойством пропорции:

х(х - 3) = 2(2х - 5)

х²-3х=4х-10

х² -7х + 10=0 его корни по теореме Виета: 2 и 5.

Число 2 не входит в ОДЗ.

Ответ: 5.

3. Замена переменных.

Пример:

ОДЗ: х> О

Дадим замену: t = х

= = (2 х )³=

= = (3 х )2 = (3t)²=9t²

Теперь уравнение примет вид:

8t - 9t² + t=0

t(8t² - 9t + 1) = 0

t = 0 ИЛИ 8t² – 9t + 1 = 0 корни этого уравнения находим с использованием дискриминанта. Это числа: 1 и   Вернемся к замене:

Все три ответа входят в ОДЗ.

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Пример: 0,01x^lgx+³ = 100

ОДЗ: х >0

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы убрать коэффициент при х, поскольку это сразу упростит внешний вид уравнения:

х^lgx+³ = 10000

прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

lg х^{lg х+з}= lg10000

(lgx + 3) lg x = 4 (т.к. 10⁴ = 10000)

lg² Х + 3 lg х - 4 = 0

Дадим замену: t = lg х

Получим уравнение: t² + 3t - 4 =0 его корни по теореме Виета: 1 и -4.

Вернемся к замене:

Оба значения входят в ОДЗ.

5. Приведение к одному основанию.

Пример: ОДЗ: х>0

3. Решение уравнений школьниками.

После разбора этих способов решения логарифмически уравнений учитель предлагает школьникам задания на их применение.

Задание записано на доске, с тем чтобы школьники решали их, определяя способ решения с опорой на тетрадь. В задании намеренно даны не самые простые уравнения, чтобы показать школьникам широкую применимость данного им “аппарата” для решения логарифмических уравнений.

Задания: во всех случаях требуется решить уравнение.

Разбор заданий:

1) в этом уравнении можно применить формулу перехода к одному основанию, а можно сразу применить свойство пропорции:

ОДЗ: x>2

на примере данного уравнения видно, что иногда полезнее отложить выяснение ОДЗ до получения ответов, поскольку решение кубического неравенства отнимет много времени. Имеем равные десятичные логарифмы, следовательно, равны выражения под логарифмами:

х³-5х²+ 19=(х-2)³

х³ - 5х² + 19 = х³-6х² + 12x - 8

x²-12x+27=0

его корни по теореме Виета: 3 и 9. Однако при х = 3 в знаменателе исходного уравнения получается lg (х -2) = lg 1 =0.

Таким образом, остается один ответ: х = 9.

2)

ОДЗ: => => х>-2

применим прием приведения к одному основанию:

применим свойства логарифма:

применим определение логарифма:

(х + 14)(х + 2) =2⁶ = 64

х²+2x+ 14х+28-64=0

х²+16х - 36 =0 его корни по тереме Виета: 2 и - 18.

Число - 18 не входит в ОДЗ.

Ответ: х=2

3)

ОДЗ: х> О

Приведем все логарифмы к одному основанию:

Вынесем показатели степеней за знак логарифма:

х=2⁶

х=64

ответ: х=64

4)

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

Дадим замену: lg x = t. Получим уравнение:

Домножим все уравнение на 3: 9t⁴ – 2t² -7=0 - биквадратное уравнение

Пусть t² = а, тогда 9а² - 2а -7 =0. Его корни вычислим с использованием дискриминанта: a_1.2 =; а₁ = 1; а₂ = - не подходит, т.к. а = t²;

t² = 1 => t = ± 1 вернемся к замене:

lg х = 1 => х = 10

lg х = - 1 => х =

Ответ: х=10 и х=

ОДЗ:

Заметим, что Тогда

lоg_о,4(х^З -7х²+ 13х-2) = 3log_o,4(x-2)

lоg_о,4(х^З -7х²+ 13х-2) = lоg_о,4(х-2)^З

Имеем равные логарифмы: основания равны, значит, и под логарифмами равные выражения:

х^З -7х²+ 13х-2=(х-2)^З

х^З -7х²+ 13х-2= х^З -6х²+ 23х-8

После при ведения подобных получаем: х² - х - 6 = О, его корни по теореме Виета - это числа 3 и - 2. Поскольку х > 2 по одному из неравенств ОДЗ, остается один ответ: х = 3.

Ответ: х = 3.

4. Итого урока. Домашнее задание.

Для домашней работы могут быть предложено 6 заданий. Во всех случаях требуется решить уравнение.

1. =2
2. 
3. 
4. х^З-1gх = 100,
5. 
6. 

Ответы: 1) х=3, 2) х=-2, 3) х=3, 4) х=100 и х=10, 5) х=9, 6) х=1

Спасибо за урок!