Методические аспекты использования компьютера для построения и исследования графиков
За годы изучения математики и других дисциплин школьникам нередко приходится строить графики функций. Сначала строят прямые, гиперболы, параболы, потом графики сложных функций и тригонометрических функций. Темы «Построение графика функции» и «Исследование функции» сложны и вызывают интерес далеко не у всех учеников. Можно поднять интерес к данным темам и показать учащимся как с помощью компьютера элементарно строятся любые графики.
Рассмотрим пример построения графиков функций в среде QBASIC.
|
Примерное объяснение учителя |
Вид доски (демонстрационного экрана) |
| Первый шаг построения графика функции на листе бумаги - это рисование осей координат и выбор единичного отрезка. Поступим так же, нарисуем сначала оси координат. SCREEN 12 | LINE (0, 240)-(640, 240), 15 " Ось Х
LINE (320, 0)-(320, 480), 15 " Ось У LINE (635, 237)-(640, 240) " Стрелка к LINE -(635, 243) " оси Х LINE (317, 5)-(320, 0) " Стрелка к LINE -(323, 5) " оси У |
| Поставим названия осей. | LOCATE 1, 42
PRINT «y» LOCATE 17, 79 PRINT «x» |
| За единичный отрезок примем 10 точек экрана. Нарисуем единичные отрезки на оси Х.
Как изменится программа, если единичный отрезок увеличить в два раза? |
(FOR x = 20 TO 620 STEP 20) FOR x = 10 TO 630 STEP 10
LINE (x, 238)-(x, 242), 15 NEXT |
| Нарисуем единичные отрезки на оси У. | FOR y = 10 TO 470 STEP 10
LINE (318, y)-(322, y), 15 NEXT |
|
Второй шаг. При построении графика функции в тетради обычно строится таблица, в которой указываются взятые из определённого интервала значения Х, и значения функции
от соответствующих Х. Далее на координатной плоскости ставим точки, координаты которых берём из таблицы.
Третий шаг. Соединяем точки плавной линией. Недостатки построения графика функции на листе бумаги: - громоздкие вычисления, а значит небольшое количество значений в таблице;
|
|
| Построим график функции у = х2.
Возьмём значения х из интервала [-6;6]. Для хорошей точности построения укажем значения переменной х через очень маленький шаг, например, 0.01. В этом случае точки графика будут стоять рядом и нет надобности соединять их линией. |
FOR x = - 6 TO 6 STEP .01
y = x * x PSET (x * 10 + 320, 240 - y * 10), 12 NEXT |
| Рассмотрим подробнее команду PSET :
x * 10 и y * 10, так как за единичный отрезок приняли 10 точек экрана; 320 и 240, так как мы сместили начало координат на 320 точек по оси Х и 240 точек по оси Y ; в среде программирования обычно ось Y направлена вниз, а, значит, чтобы график располагался в привычном для нас виде, нам надо построить не у = х2, а у = - х2 , отсюда и знак «-» перед y * 10 |
Результат работы программы
|
| Мы создали программу - шаблон, с помощью которой теперь можем построить график любой функции. |
Далее объяснения учителя зависят от возраста учащихся.
1. Если изучение данной темы идёт в 8 классе, то можно наглядно показать как график функции y = f (x+a) + b получается из графика y = f (x) смещением вдоль осей координат.
Можно решить следующую задачу: «Построить в одной системе координат графики функций y = х2, y = (х+10)2, y = х2 - 8, y = х+10)2 - 8.»
|
Для решения данной задачи достаточно взять программу - шаблон построения графиков функций. Скопировать последние четыре строки 3 раза, внести изменения в запись вычисления у
и изменить значение цвета в команде PSET.
Следует отметить, что при построении графиков функций
Вывод: график функции y=f (x+a)+b является графиком функции y=f (x), смещенным вдоль оси Х на - а единиц и вдоль оси Y на b единиц. |
FOR x = -16 TO -4 STEP .01
y = (x + 10) ^ 2 PSET (x * 10 + 320, 240 - y * 10), 10 NEXT FOR x = -6 TO 6 STEP .01 y = x * x - 8 PSET (x * 10 + 320, 240 - y * 10), 13 NEXT FOR x = -16 TO -4 STEP .01 y = (x + 10)^2 - 8 PSET (x * 10 + 320, 240 - y * 10), 14 NEXT |
Рис. 2
Дополнительные задания и вопросы:
Вывести на экран названия графиков функций.
Нарисовать на экране координатную сетку.
Можно ли взять другой интервал для значений х?
Построить y = x3, y = x4, y = x5, y = x6. Графики каких функций похожи?
Построить график функции y = x5-10x3+15x-1 (в тетради такой график трудно построить точно). Исследовать поведение функции на интервале [-3;
3] (найти промежутки возрастания, убывания функции, минимальное и максимальное значения функции на данном интервале, точки пересечения графика с осью Х и осью Y).
Если к изучению данной темы известен оператор условия IF … THEN … ELSE …, то учащимся можно предложить построить в одной системе координат графики функций y
= 1 / х, y = 1 / (х + 5), y = 1 / х - 4, y = 1 / (х
+ 5) - 4.
2. Для учащихся старших классов можно показать графики тригонометрических функций, сложных функций, содержащих многочлены и тригонометрические функции, кривых, заданных параметрическим способом.
Пример 1.
Построим график функции у=cos(x).
Откроем программу - шаблон, созданную раннее. В ней изменим начальное и конечное значение переменной х и значение переменной у.
FOR x = -32 TO 32 STEP .01
y = COS (x)
PSET (x * 10 + 320, 240 - y * 10), 2
NEXT
Рис.3
Дополнительно можно предложить учащимся исследовать поведение графика функции у = a cos( bx ) в зависимости от разных значений a и b или построить (по вариантам)
следующие графики функций: y = 10 cos (x) + 1; y = 6 sin (x) - 4; y = 5 cos (0.5x); y = x +
sin (x); y = x * cos (x);
y = x - 2 cox (x); y = | x | + sin (x); y = x * sin (x) (пять последних графика получаются
очень красивыми).
Пример 2.
Построим график кривой, заданной параметрическим способом.
x = 20 cos ( t )2 + 10 cos ( t )
y = 20 cos ( t ) sin ( t ) + 10 sin ( t )
Открываем программу - шаблон, созданную раннее. В качестве переменной цикла возьмём переменную t (здесь надо объяснить, что t - это угол, а так как х и у задаются с помощью периодических функций COS(t) и SIN(t), то достаточно рассмотреть значение t от 0 до двух пи), а х также как и у зададим формулой.
FOR t = 0 TO 2 * 3.14 STEP .01
x = 20 * COS( t ) ^ 2 + 10 * COS( t )
y = 20 * COS( t ) * SIN( t ) + 10 * SIN( t )
PSET (x * 10 + 320, 240 - y * 10), 14
NEXT
Рис. 4
График такой кривой называется улитка Паскаля.
Предложите ученикам самостоятельно построить графики кривых:
А. График такой кривой называется Строфоида.
x = a ( t2 - 1 ) / ( t2 + 1 )
y = at ( t2 - 1 ) / ( t2 + 1 ), где а = 10, t - любое.
Б. График такой кривой называется Астроида.
x = R cos3 ( t/4 )
y = R sin3 ( t/4 ) , где R = 15.
В. График такой кривой называется Трохоида.
x = a ( t - b sin t )
y = a (1- b cos t ), где a = 2, b = 2, t - любое.
Дополнительно предложите исследовать, как меняются графики кривых в зависимости от переменных a, b и R.
Построение графиков функций можно показать и в программе EXCEL. Для того, чтобы построить график, надо построить таблицу значений функции для определённых значений переменной х, выделить эту таблицу и вставить диаграмму. Лучше всего для построения графиков подходит точечная диаграмма со значениями, соединёнными сглаживающими линиями без маркеров.
Рис. 5
Рис.6
Рис. 7
В результате нашей работы, учащиеся закрепляют материал, полученный на уроках математики, проводят самостоятельные исследования, отрабатывают навыки работы в программах QBASIC и EXCEL, при этом, повышается их интерес к изучению данных тем.
Рассмотренные выше способы построения графиков с помощью компьютера можно использовать для решения задач на моделирование физических, биологических и др. процессов.