Существенным недостатком школьного курса “Алгебра и начала анализа” является то, что тема “Обратные тригонометрические функции” освещена не достаточно. Для того, чтобы решать различные задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, достаточно хорошо знать определения и свойства этих функций и известные тригонометрические формулы. (Приложение 1)

Поэтому в данной статье делается попытка осуществить классификацию задач с обратными тригонометрическими функциями, опирающимися главным образом на разнообразие заданий предлагаемых на вступительных экзаменах.

Остановимся на примерах, которые встречаются на вступительных экзаменах.

1. Показать, что функция

алгебраическая.

Решение: Применим формулу синуса суммы двух углов, получим . Введем некоторые обозначения:

. Следовательно, данная нам функция примет вид: Что и требовалось доказать.

1.2. Показать, что функция алгебраическая.

Решение: Применим формулу тангенса суммы двух углов, получим . Введем некоторые обозначения:

. Следовательно, данная нам функция примет вид: Что и требовалось доказать.

2. Найти точное значение

Решение: По определению , следовательно, . Число 5 этому промежутку не принадлежит. Пусть и взяв тангенсы левой и правой части последнего равенства, получим . По условию равенства тангенсов имеем, что . Но в наших условиях Поэтому

2.2. Найти точное значение

Решение: По определению . На координатной плоскости рассмотрим числовую окружность и отметим на ней точки А и В с абсциссой равной (они лежат на прямой ). Точка А соответствует числам , а точка В соответствует числам . Отрезку принадлежит единственная точка соответствующая числу . Поэтому, .

3. Найти точное значение

Решение: Пусть , тогда по определению арккосинуса запишем: . Задача, таким образом, сводится к следующей по известным данным найти . Решим последнюю задачу с помощью соотношениями между тригонометрическими функциями. Действительно,

Pешая какую-нибудь задачу (чаще всего геометрическую), в которой требуется определить неизвестный угол, можно получить ответ в различных формах записи выражающих один и тот же угол. Например,

3.1. Докажите, что .

Решение: Прежде исследуем каждый из этих углов:

Поскольку все три рассматриваемых угла лежат в пределах от 0 до , то для доказательства их равенства достаточно показать, что какая-нибудь тригонометрическая функция каждого их этих углов имеет одно и тоже значение:

Таким образом, на .

3.2. Доказать, что .

Решение: Вычислим косинус правой и левой частей равенства . Применяя, формулу косинус суммы аргументов и свойства обратных тригонометрических функций получаем

4.1. Вычислить

Решение: По определению . Определим этот угол с помощью графика функции .

На оси абсцисс отложим число 10, - есть ордината точки графика, соответствующей х=10. Через точку проведем горизонтальную прямую. Абсцисса одной из точек пересечения этой прямой с синусоидой лежит на отрезке , это абсцисса и соответствует искомому числу ?. Из геометрической иллюстрации и в силу симметричности точек ? и 10 относительно точки получаем, что . Следовательно,

4.2. Вычислить

Решение: По определению . Определим этот угол с помощью графика функции .

На оси абсцисс отложим число 10, - есть абсцисса точки графика, соответствующей х=10. Через точку пересечения прямой х=10 и графика функции проведем горизонтальную прямую. Абсцисса одной из точек пересечения этой прямой с синусоидой лежит на отрезке , это абсцисса и соответствует искомому числу ?. Из геометрической иллюстрации и в силу симметричности точек ? и 10 относительно точки получаем, что . Следовательно,

5.1. Сравните:

Решение:

5.2. Сравните:

6.1. Решите уравнение

Решение: ОДЗ определяется из условия:

Преобразуем уравнение и возьмем синус от обеих частей:

Проверим, попадают ли корни в ОДЗ:

6.2. Решите уравнение:

Решение: Так как область значений функции арксинус , тогда исходное уравнение можно записать с помощью системы двух уравнений:

Левые части уравнений системы равны, следовательно, будут равны и правые части

6.3. Решите уравнение:

Решение: Возьмем синус от обеих частей уравнения . Воспользуемся формулой синус суммы двух аргументов .

Используя формулы: получаем:

6.4. Решите уравнение:

Решение: Возьмем синус от обеих частей уравнения . Воспользуемся формулой синус суммы двух аргументов .

Используя формулы: получаем:

6.5. Решите уравнение:

Решение: Введем обозначение , тогда исходное уравнение представим в виде квадратного уравнения: или . Найдем корни последнего уравнения . С учетом ограничения функции арксинус получаем

6.6. Решите уравнение:

Решение: Представим уравнение в виде . Возьмем тангенс от обеих частей уравнения .

6.7. Решите уравнение:

Решение: Определим область допустимых значений переменной х заданного уравнения:

Возьмем косинус от обеих частей уравнения . Так как и тогда . С учетом О.Д.З. получаем

6.8. Решите уравнение:

Решение: Из ограниченности функции арксинус следует, что О.Д.З.: . Возьмем синус от обеих частей уравнения: . Воспользуемся формулами косинус двойного аргумента и синус суммы аргументов, получим:

Пусть , тогда последнее уравнение запишем в алгебраической форме:

Проверим, попадают ли корни в О.Д,З.: