Цели урока:

• Показать, что любое полное изображение, содержащее контур шара, метрически  определено.
• Отработать навыки построения сферических поверхностей, их линий пересечений.
• Закрепить навыки единой графической культуры.

Вступление: Мы с вами провели цикл интегрированных уроков с целью показать, что произвольное выполнение изображений геометрических тел приводит к массе ошибок, к тому, что ваша интуиция при использовании таких изображений часто действует в неправильном направлении. Это становиться очевидным, если сравнить эти изображения с рисунками, выполненными по правилам начертательной геометрии.
В ходе наших уроков мы строили развертки всевозможных геометрических тел, виды сечений различными плоскостями, находили площади поверхностей.
Сегодня мы рассмотрим комбинации тел с шаром. Отработаем навыки различных геометрических построений и нахождения  объемов данных тел. 

Практическое задание № 1

На последних уроках начертательной геометрии выполняли различные построения сфер. Для выполнения первого задания нам нужно будет построить изометрическое изображение шара методом меридианов. (К доске выходят двое учащихся и параллельно выполняют построение шара диаметром 60 мм. Один из шаров должен быть вписан в куб (Рис. 1, а), другой – описан вокруг куба. (Рис.1. б) На местах учащиеся работают в группах, выполняя построения в тетрадях).

                 а)                                                                                  б)

Рис. 1

Вопрос: В каждом из этих случаев определите каково отношение R шара к стороне куба?

Ответы: а)    a = 2r                             б)  

Обратимся к рисунку на доске (Рис. 2а) – перед вами описанный около шара цилиндр. Каково отношение h цилиндра к R шара? Ответ: h = 2R

Рис. 2а

Рис. 2б

Давайте запишем формулы Vшара и Vсферы. (Учащиеся работают в тетрадях – один из них записывает формулы на доске. Учитель рассказывает об интересном историческом факте).

Vш  =  πR³                                Vс =  4πR²

Архимед интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют 2/3 от объема и полной поверхности описанного около шара цилиндра.  Доказательство – Рис 2б.  По желанию Архимеда такой чертеж был изображен на его гробнице.  (Рис 2а.)

В практике часто используют детали, форма которых представляет собой совокупность частично срезанных сфер и тел вращения. Рассмотрим некоторые из них. Например, (рис. 3) заготовка рукоятки.

Рис. 3

Составные элементы: (Ответы учащихся) слева-направо: полусфера, усеченный конус, тор, цилиндр, усеченный конус. Все элементы детали имеют общую ось, поэтому границы перехода поверхности одного геометрического тела в другое будут представлять окружности. А на  фронтальной и горизонтальной проекциях эти окружности будут изображены в виде отрезков.

Практическое задание № 2

Следующий пример перед вами – эта деталь называется шатун. (Рис. 4, б) Где он используется? (Ответ: двигатель автомобиля) Прежде чем перейти к практической части работы и выполнить чертеж и изометрическую проекцию данной детали, проведем анализ ее формы:  какие составные части у нее, какие необходимы размеры для построения, где находятся  и что будут представлять границы перехода.

Ответы учащихся:

– 2 усеченных шара разных диаметров;
– цилиндр, соединяющий шары;
– 2  цилиндрических сквозных осевых  отверстия внутри шаров;
– границы перехода между шарами и цилиндром  – окружности, т. к. тела вращения имеют общую ось.

а)                                                                                                 б)

Рис. 4

Необходимые размеры:

–  диаметры шаров соответственно
–  габаритная высота усеченных шаров соответственно
–  диаметр внутренних отверстий
–  межосевое расстояние
–  диаметр сечения цилиндра

Учащиеся выполняют на форматах А3:

1) Чертеж (Рис 4, а) шатуна по заданным размерам:

Ǿ₁ = 80 мм      Ǿ₂ = 60 мм            l = 150 мм            Ǿ_вн.отв. = 20 мм
h₁= 70 мм       h₂= 50 мм             Ǿ_еч. = 40 мм  

2) Изометрическую проекцию с вырезом на малом шаре. 

(После выполнения задания проводится анализ работ).

Домашнее задание:

– отметить классы обработки внутренней и наружной поверхностей шатуна;
–  рассчитать массу шатуна для стали У8А)

Практическое задание № 3: 

Переходим к решению задачи (Рис. 5)

Задача: В шар вписана пирамида, основание которой прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 см.  Найдите: V шара и V пирамиды, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол  .
Для любой геометрической задачи  основным является правильно построенный рисунок. Для решения нам нужен вид сверху и изометрическая проекция.
Предлагается для наглядности  увеличить масштаб  изображения – М  2 : 1.

(Учащиеся работают в тетрадях – один из них у доски. Вначале выполняется чертеж)  

Дано:  АВ = 2 см.
∆ АВС – прямоугольный
АD, (ABC) = BD , (ABC) = DC, (ABC) =  

Найти: Vшара, Vпирамиды

Рис. 5

Решение:

DO – высота пирамиды,   ∆ АВС – прямоугольный  =>
О – центр описанной окружности  =>   r  пирамиды = 1 см.
∆ DOC – прямоугольный  =>      tg  =    =>       h = tg  = DO
∆ DCS  – прямоугольный,   ОС – высота    ∆ DSC  => OC – среднее  пропорциональное  между  отрезками  DO и OS,

т.е.  ;       OC² = DO (2R – DO);

1 =  tg    (2R – tg );
1 = 2R tg    –   tg² ;
2R tg    = 1 + tg² ;
2R tg  =  

Практическое задание № 4:  (представлено на инструкционной карте на столах).

В правильной четырехугольной пирамиде угол между боковым ребром и основанием равен . Внутри пирамиды расположены 4 одинаковых шара радиуса r так, что каждый шар касается основания, двух смежных боковых граней и двух других шаров. Найдите объем пирамиды.

Рис. 6

Вопросы:  Определить, в каком отношении точка касания шаров и основания делит диагонали основания (математически). Как иллюстрирует вид сверху решение задачи?
Для решения задачи выполнить фронтальную и горизонтальную проекции.

У вас на карте есть наглядное изображение данного условия, а для решения задачи нам нужно построить две проекции. Строим фронтальную и горизонтальную проекции. Работаем на форматах А4. Возьмем радиус шара равным 20 мм.(У доски работают два ученика)

Дано:  KABCD – правильная пирамида => ABCD – квадрат
О₁М = r, ےKCO =
Найти: Vпирамиды

Решение:

На чертеже (вид сверху) видно, что ABCD разделён на 9 равных квадратов со стороной 2r   => АB = BС = 6r = AC = AB = 6r => OC= AC = 3r
∆ KOC – прямоугольный =>    tg   = ;
h = OC tg  = 3rtg
Sосн = AB² = 36r²
Vпир. = Sосн h =
Vпир.= 36rtg

Итог

– Мы в очередной раз убедились, что любое полное изображение метрически определено; что рисунок должен соответствовать единой графической культуре. Мы убедились в неразрывной связи двух учебных дисциплин – геометрии и черчения. И в том, говоря словами известного французского ученого Б. Паскаля, что «Что не может геометрия и черчение, не можем и мы».