Серия «Учимся решать задачи с параметром»

IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром

IV.1. Основные понятия

Определение. Функцию вида (1), где , , - данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .

Определение. Под областью определения квадратичной функции (1) с параметром а будем понимать всё множество пар значений х и а вида (х; а), при каждой из которых выражение не теряет смысла.

Установим области определения функций 1-10.

1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:

; ; ;
; ; ; ,

где k, b, c - действительные числа.

Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо - линейной.

Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром, мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.

Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида (1) где , , - данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
. (5)

Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.

Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида , где - квадратичная функция с параметром а.

Если , то уравнение (1) является квадратным в традиционном смысле, т.е. второй степени.
Если же , то уравнение (1) становится линейным.

При всех допустимых значениях параметра а, при которых и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.

Те значения а, при которых , следует рассматривать отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при примет вид , откуда .

IV.2. Квадратные уравнения с параметром

№1. Решите уравнение .

Решение

ООУ:

- уравнение-следствие. Получим: , .

В системе координат (аОх) завершаем решение. (Рис. 1)

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , , то , .

№2. Найдите значение параметра а, при котором уравнение имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение

ООУ:

Данное уравнение сводится к равносильной системе:

Приведём её к виду: и решим графически в системе координат (хОа). (Рис. 2).

Уравнение имеет единственный корень при , и .

0 + 1 + 4 =5.

Ответ: 5.

№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а, не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение не равно выражению . (ЕГЭ-2007).

Решение

Переформулируем задачу: «Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра уравнение не имеет корней».
Выразим а через х:

; .

1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение имеет корни. Значит, не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся системой координат (хОа). (Рис. 3).

Условию удовлетворяют .

Ответ: .

№4. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

Решение

ООУ:

Раскроем модуль:

В системе координат (хОу) построим график функции

и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).

Ответ: 1. Если , то корней нет.

2. Если , то один корень.

3. Если , то два корня.

IV.3. Квадратные неравенства с параметром

№5. Решите неравенство .

Решение

1 способ.

Учтём, что . Тогда - решение данного неравенства при любом b. (Рис. 5).

Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx). (Рис. 6).

Совместим рис. 5 и 6.

А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.

Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то

2 способ.

Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb):

. (Рис. 8).

Рассмотрим два случая.

1) . Тогда неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .

График функции и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.

Ответ:

1. Если , то .
2. Если , то . 3. Если , то .

3 способ.

Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу). Для этого раскроем модуль:

Рассмотрим функцию .

, - корни квадратного трёхчлена .

Сравним и .

1) , откуда .

Получаем совокупность . (Рис. 9)

2) , откуда . (Рис. 10).

Тогда т.е. .

3) , откуда . (Рис. 11).

Тогда т.е. .

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .
3. Если , то .

№6. Найдите все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции больше 2.

Решение

Достаточно найти все значения параметра а, для каждого из которых для любого верно неравенство . Перепишем неравенство в виде .

Решим его графически в системе координат (хОу).

Для этого рассмотрим функции (1), (2).

(1)

(Рис. 12).

Неравенство будет выполняться для всех , если график функции будет выше графика функции .

Рассмотрим 2 случая: 1) прямая является касательной к графику функции ; 2) прямая является касательной к графику функции .

1. , , , , - уравнение касательной. Откуда , . Тогда .

2. График функции проходит через точку с координатами (1; 1): , откуда .

Условию задачи удовлетворяют все .

Ответ: .
№7. Решите совокупность неравенств

Решение

Установим сначала область определения совокупности:

Будем решать совокупность графически в системе координат (хОа). (Рис. 13).

Перепишем совокупность в виде

Введем функцию . (0; 0), (6; 0) - точки пересечения с осями координат; (3; 9) - вершина параболы.

Найдём корни квадратного трёхчлена : ; .

На рис. 13 множество решений совокупности выделено цветом (темным или светлым).

Ответ:

1. Если , то решений нет.
2. Если , то .
3. Если , то .
4. Если , то .
5. Если , то .
6. Если , то .
7. Если , то .

Рис. 13

В данной статье мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств с параметром. Более подробно с теорией и методикой решения линейных и квадратных уравнений, неравенств, их систем и совокупностей с параметром вы можете ознакомиться в учебном пособии: авторы Беляева Э.С., Титоренко С.А., Потапов А.С. «Графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром». (Воронеж: Изд-во «Наука-ЮНИПРЕСС», 2010. - 300 с.).