Author: Валентина Васильевна

Пример построения графика
Двучлен х2-1 имеет корни -1 и 1;
D(y)= (-∞; -1)U(-1; 1)U(1;+ ∞).
Прямые х=-1 и х=1 –вертикальные асимптоты.
Двучлен 5х2+3 не имеет корней. График не пересекает ось абсцисс; ось ординат пересекает в точке (0; -3).
Приведем данное выражение к виду:
у(х2-1)=5х2+3, (у-5)х2-(у+3)=0,
Это уравнение имеет решение тогда и только тогда ,
когда
Решением неравенства является множество
(-∞; -3]U(5; +∞).
Значения у=-3 и у =5 являются значениями минимума или максимума функции.
у>5, минимума нет;
у≤-3, точка с координатами (0; -3) – точка максимума, точка пересечения графика с осью ординат.
Таким образом, имеем:
х=-1 и х=1 –вертикальные асимптоты;
у=5 – горизонтальная асимптота;
график не пересекает ось абсцисс;
А(0; -3) – точка максимума, точка пересечения графика с осью ординат;
дополнительные точки: В(-3; 6); С(3; 6); D(2, 7⅔); Е(½; -5 ⅔); F(- ½; -5 ⅔);
Можем нарисовать эскиз графика .

В результате изучения и анализа учебной, математической, энциклопедической литературы по теме исследования, построения эскизов графиков, компьютерного моделирования математических объектов с помощью программы «Живая геометрия» (компьютерный эксперимент) и анализ полученных с помощью компьютерного эксперимента данных был выработан алгоритм исследования и построения графика дробно-рациональной функции степени не выше второй элементарными способами:
установим наличие асимптот;
найдем точки пересечения графика с осью абсцисс, приравняв числитель к нулю; вычислим координаты точек пересечения графика с осью ординат (найдем значение функции при х=0);
найдем область значений данной функции;
найденные значения у1 и у2 являются значениями минимума или максимума функции. Приравняв дробь к этим числам, вычислим абсциссы указанных точек. Учитывая множество значений функции, определяем, какая из точек является точкой минимума, а какая – точкой максимума.
На основании обобщения полученных в процессе исследования данных была установлена возможность применения полученных результатов при построении графиков рассматриваемых функций.

Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы) /М.: МЦНМ, 2004.-120с.;
Гендельштейн Л.Э., Ершова А.П., ЕршоваА.С. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами для 7-11 классов,- Москва-Харьков-Илекса-гимназия,1997.-96с.;
Гурский И.П. Функции и построение графиков / М.: Просвещение, 1968.-215с.;
Курс математики для техникумов под редакцией Матвеева Н. М./ М., «Наука», 1977г

МОУ «СОШ № 24»
г. Северодвинска Архангельской обл.,
ул. Дзержинского , 11-а, телефон: 7-20-20
электронная почта: sector-24@ya.ru

МОУ « СОШ № 24”

Работу выполнил ученик 9 класса Карелин Максим
Руководитель работы Паршева В.В., учитель математики

г. Северодвинск
2010-2011 уч.год

«Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это — построение графиков—является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются».
Гельфанд И. М., основатель и руководитель ЗФМШ, один из крупнейших математиков XX века.
превращения формул и описаний в геометрические образы. Это — построение графиков—является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются».

Проблемный вопрос: Установить правило нахождения координат «особых» точек (в математике они называются экстремальными точками).
Объект исследования: графики дробно-рациональной функции, у которых степени числителя и знаменателя не выше второй.
Предмет исследования: координаты экстремальных точек графика дробно-рациональной функции.
Цель исследования: выяснить, как элементарными методами можно найти координаты экстремальных точек графика дробно-рациональной функции.
Цель исследования: выяснить, как элементарными методами можно найти координаты экстремальных точек графика дробно-рациональной функции.
Гипотеза: для нахождения экстремумов дробно-рациональной функции степени не выше второй нужно исследовать дискриминант данной дроби, выраженный через у.

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Алгебра.8 класс Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений-: Мнемозина, 2009 –384 с

Задачи исследования
Выявить алгоритм исследования и построения графика дробно-рациональной функции степени не выше второй элементарными способами.
Установить, как элементарными методами можно найти координаты экстремальных точек графика дробно-рациональной функции.
Изучить применение алгоритма исследования дробно-рациональной функции и построения ее графика на конкретных примерах
Выявить возможность применения полученных результатов при построении графиков рассматриваемых функций.
Методы исследования
Изучение и анализ учебной, математичес- кой, энциклопедической литературы по теме исследования.
Построение эскизов графиков.
Компьютерное моделирование математичес- ких объектов с помощьюп рограммы «Живая геометрия» (компьютерный эксперимент).
Анализ данных, полученных с помощью
компьютерного эксперимента.
Обобщение полученных в процессе исследования данных.
Определение. Дробно-рациональными функциями называются функции вида: где и - многочлены степени n и k соответственно.
Примечание. Мы будем рассматривать такие дробно-рациональные функции, у которых степень числителя и знаменателя дроби, не превосходит двух.
Определение Прямая y= kx+b называется асимптотой y= f(x), если
Критерии существования асимптот
для рассматриваемых нами функций:
Горизонтальные асимптоты существуют у таких функций, у которых степень числителя не превышает степени знаменателя.
Вертикальные асимптоты существуют у таких функций, которые не определены в каких- либо точках. Их число не превышает числа нулей знаменателя.
Наклонные асимптоты существуют у таких функций, у которых степень числителя на единицу превышает степень знаменателя.
У графика функции не могут существовать одновременно все три вида асимптот.
Lorem sed diem nonummy nibh euismod tincidunt ut lacreet dolore magna aliguam erat amet, consectetuer adipiscing elit, se diem nonummy nibh euismod tincidunt ut lacree dolore magna aliguam erat Lorem ipsum dolor sit amet, onummy nibh euismod tincidunt ut lacreet dolore mag tincidunt ut lacreet dolore magna aliguam erat Lorem ipsum dolor sit amet.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diem nonummy nibh euismod tincidunt ut lacreet dolore consectetuer adipiscing elit, sed diem nonummy nibh euismod tincidunt ut lacreet dolore magna aliguam erat amet, consectegna aliguam erat. Lorem ipsum dolor.

Ажгалиев У. «Возможно ли исследование и
построение графика дробно-рациональной функции без использования производной» («Математика в школе», №7, 2010, ООО «Школьная Пресса»);
Литинский Г.И. Функции и графики, - М.: Аслан,1995.-192с.

МОУ « СОШ № 24”

Мышкис А. Д., Сатьянов П.Г. Функции и графики, с.248 /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-8 кл. сред. шк./ сост. И.Л Никольская, - М.:Просвещение,1991.-383с.;
Райхмист Р.Б.Графики функций: Справочное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1991.- 160с.;
Шахмейстер Построение графиков элементарными методами/ СПб; ЧеРо-на –Неве, 2003.-184с.;

И.М. Гельфанд, основатель и руководитель ВЗМШ,

один из крупнейших математиков XX века

«Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это — построение графиков—является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются».

один из крупнейших математиков XX века

Гипотеза: для нахождения экстремумов дробно-рациональной функции степени не выше второй нужно исследовать дискриминант данной дроби, выраженный через у.