Author: Валентина Васильевна

График дробно-линейной функции имеет две асимптоты: вертикальную и горизонтальную.
Если числитель дробно - рациональной функции у(x) линейная функция, а знаменатель – квадратичная функция, то график данной функции имеет горизонтальную асимптоту и может иметь не более двух вертикальных асимптот.
График дробно-рациональной функции, у которой числитель и знаменатель второй степени, имеет горизонтальную асимптоту и может иметь не более двух вертикальных асимптот.
Если числитель дробно - рациональной функции квадратичная функция, а знаменатель –линейная функция, то график данной функции имеет наклонную и вертикальную асимптоты.

Критерии существования асимптот
На основании проведенных компьютерных экспериментов можно установить следующие закономерности и представить их в виде критериев существования асимптот:
Горизонтальные асимптоты существуют у таких функций, у которых степень числителя не превышает степени знаменателя
Вертикальные асимптоты существуют у таких функций, которые не определены в каких- либо точках.
Наклонные асимптоты существуют у таких функций, у которых степень числителя на единицу превышает степень знаменателя.
•У графика функции не могут существовать одновременно все три вида асимптот.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Вирченко Н.О., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций. Справочник. /Киев, Наукова думк, 1977.-320с.;
Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы) /М.: МЦНМ, 2004.-120с.;
Гурский И.П. Функции и построение графиков/ М.: Просвещение, 1968.-215с.;
Шахмейстер Построение графиков элементарными методами/ СПб; ЧеРо-на –Неве, 2003.-184с.;
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин.-М.: Педагогика, 1989.-352с.

МОУ «Средняя
общеобразовательная
школа № 24”

Асимптоты – ориентир для построения графиков

г. Северодвинск.
Архангельская обл.

2011 г.

Выполнил
Кожин Дмитрий ,
ученик 9 класса
Руководитель работы
Паршева В.В.,
учитель математики

Асимптотой кривой называется прямая, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность [школьные учебники].
Проблемный вопрос: Нельзя ли по виду формулы, задающей дробно-рациональную функцию определить, какие асимптоты имеет график и сколько их?
Объект исследования: графики дробно-рациональной функции,
Предмет исследования: количество асимптот и их вид.
Гипотеза исследования: график любой дробно-рациональной функции имеет два вида асимптот: вертикальную и горизонтальную, и по виду функциональной зависимости можно определить их количество и вид.
Цель исследования: выяснить, какие асимптоты имеют графики дробно-рациональных функций (степени числителя и знаменателя не выше второй степени) и сколько асимптот может иметь график этой функции; установить, как найти уравнения асимптот элементарными методами.
кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной»

Задачи исследования
Выяснить:
когда и в связи с какими потребностями появилось понятие «асимптота»;
сколько определений имеет это понятие, что общего в этих определениях и в чем заключаются различия.
Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель и знаменатель – линейные функции.
3. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель – линейная функция, а знаменатель – квадратичная функция.
4. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель и знаменатель – квадратичные функции.
5. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель – квадратичная функция и знаменатель – линейная функция.
6. Выяснить, можно ли строить эскизы графиков дробно-рациональных функций элементарными способами.
7. На основании задач исследования 2-5, вывести критерии существования асимптот.
Методы исследования
Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, .литературы по истории математики.
Сравнительный анализ определений понятия «асимптота».
Компьютерное моделирование математических объектов с помощью программы «Живая геометрия» (компьютерный эксперимент).
Анализ полученных с помощью компьютерного эксперимента данных.
Обобщение найденных с помощью компьютерного эксперимента закономерностей.
Определения дробно-рациональной функции:
Функции, правые части которых – дроби, у которых числитель многочлен первой степени или число отличное от нуля, а знаменатель – многочлен первой степени, называются дробно – линейными функциями. [Алгебра. 9класс; учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение,2009. – 271с.]
2/ Функция вида
где f(x) и g(x) – многочлены, называется дробно -рациональной функцией. [Литинский Г.И. Функции и графики , -М.: Аслан,1995.-192с.]
.

[Википедия ru.wikipedia.org/wiki/Асимптота]