Author: Lutan

МОУ «СОШ №11”

Советы выпускнику при подготовке к ЕГЭ

Все
о процентах

Математика 11 класс

Байкальск 2010 г.

Процентом числа называется его сотая часть , например
1% - это одна сотая числа, 1% от числа 500 –это число 5,
3% -это три сотых числа, 3% от числа 500 –это число 15.
Отсюда легко получаются соотношения, которые полезно помнить:
50% числа х – это его половина (0,5х );
25% числа х – это его четверть (0,25х или 1/4 х );
20% числа х – это его пятая часть (0,2х или 1/5х );
75% числа х— это его три четверти (0,75х или 3/4х);
100% числа х – это все число (х)
Решение любых задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:
Нахождение процентов от числа
Нахождение числа по его процентам
Пример. Найти число,12 % которого равны 30.
Какое же это число? Это число (х) принимаем за 100% и находим его из пропорции:
12 % - 30
100% - х
Х=
Нахождение процентного отношения чисел
Пример. Сколько процентов составляет 120 от 600?
Задачи.
Найдите 20 % от числа 58.
Решение: 58· 0,2 =11,6. Ответ: 11,6
2. Цену ручки снизили на 30%. Сколько стала стоить ручка, если ее цена 50 рублей.
Решение.
1 способ
Можно сначала найти на сколько рублей уменьшилась цена
50·0,3 =15 (руб)
50-15 =35 (руб)
2 способ
1.100% - 30% = 70%
2. 50·0,7 = 35(руб)
Ответ: 35
3. Шариковая ручка стоит 7 рублей. При покупке более 50 ручек на всю покупку начинает действовать скидка 20% Сколько рублей нужно заплатить при покупке 120 ручек?
1. 120 ·7 = 840 (руб) -стоимость всех ручек
2. 840 · 0,8 = 672(руб) -стоимость всех ручек со скидкой. Ответ : 672
4. Билет на автобус стоит 20 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20 %
Решение: 1. 20 · 0,2 = 4 (руб) - повысили
2. 20 + 4 =24 (руб) -стала цена
3.100:24 = 4 (билета)
Ответ: 4
5. Билет на автобус стоит 35 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 120 рублей после понижения цены билета на 10 %?
Решение: 1. 35· 0,9 =31,5 (руб)
2. 120:31,5 = 3 (билета)
Ответ : 3
6. Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?
Решение: Первоначальный спрос на товар (а) составлял 100%. Спрос увеличился и стал 5а. Произошло увеличение на 4а. Увеличение составило 400 %.
Ответ:400
7. Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?
Решение: Первоначальный объем товаров (а) составлял 100%. Он увеличился и стал а +2а = 3а. Произошло увеличение в три раза, по сравнению с первоначальным объемом.
Ответ: В три раза

Пример. Найти 15% от числа 60
(!!! Переведи 15 % в десятичную дробь. 15% - это 0,15)
0,15 · 60 = 9 Ответ : 9.

8. Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80 % овощей, проданных в первый день. В третий день—оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?
Решение: Обозначим за х (кг) -вес имевшихся в магазине овощей.Тогда в первый день магазин продал 0,4х(кг), а за второй день — 0,8 · (0,4х) кг. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составляем уравнение:
0,4х + 0,8 · (0,4х) +28 = х
0,28х =28
Х=100 Ответ : 100
9. Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10 %, а затем еще на 20 %. Какова окончательная цена товара?
Можно решать двумя способами. Представьте себе схему.
-10 % -20 %
-100 р -180 р
Первое снижение цены товара было на 0,1∙1000 = 100 руб.
После первого снижения цена товара составила 1000 –100 =900 руб.
Второе снижение цены товара было на 0,2 ∙900 = 180 руб.
После второго снижения цена товара составила 900 –180 =720 руб Ответ : 100
10. Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первона
чальчальный вклад в 100

1000 р

?

1000 р

1000-100 = 900 р

900 —180 =720 р.

Стр. #

Чальный вклад в 1000 рублей через 2 года?
Решение.
1000 рублей—первоначальная сумма вклада.
0,03 ∙ 1000 =30 ( руб)- на столько увеличится сумма за год
1000 +30 =1030 (руб) -станет сумма через год
0,03 ∙ 1030 = 30,9 (руб) - на столько увеличится сумма за второй год
1030 +30,9 = 1060,9
1060,9 –1000 = 60,9 (руб)
Ответ: 60,9
11.После истечения двух лет сумма банковского вклада, положенного под 3 % годовых, выросла на 304,5 рубля. Найдите первоначальную сумму вклада.
Пусть а рублей—первоначальная сумма вклада.
а + 0,03а = а(1+0,03) = 1,03 ∙а (руб) - стала сумма через год
0,03∙(1,03∙а ) - это проценты за второй год
1,03 ∙а +0,03∙(1,03∙а ) = 1,03 ∙1,03∙а .
Получаем уравнение
1,03 ∙1,03∙а = а + 304,5
0,0609 ∙а = 304,5
а = 5000 Ответ: 5000
Решение задач на процентный рост основано на использовании следующих понятий и формул.
Здесь важно знать следующее: (r% от числа x) = .
Число называется долей или удельным процентом.
Если исходное число x увеличивается на долю (на r% ), то новое число станет равным x1 = x+x = x(1+), т.е. увеличится в (1+ раз. Если новое число x1 снова увеличивается на долю , то получим число x2 = x1(1+) = x(1+)2. Если этот процесс повторяется n раз, то получим число xn = x(1+)n – формула сложных процентов.
Если исходное число x уменьшается на долю (на r% ), то новое число станет равным x1 = x-x = x(1-).
Пример 12. Цену на товар в магазине повысили (понизили) на 30%, а затем новую цену снова повысили (понизили) на 50%. На сколько процентов в итоге повысилась (понизилась) цена?
Решение. Пусть x – первоначальная цена товара.
Тогда после двух повышений цена станет равной
x2 = x(1 + 0,3)(1 + 0,5) = 1,95x = x+0,95x, т.е. цена увеличится на 95%.
После двух понижений цена станет равной
x2 = x(1 - 0,3)(1 - 0,5) = 0,35x = x - 0,65x,
т.е. цена уменьшится на 65%.
Пример 13. Зарплату понизили на 20%. На сколько процентов нужно повысить новую зарплату, чтобы она сравнялась с первоначальной зарплатой?
Решение. Пусть x – первоначальная зарплата, искомая доля повышения. Составим уравнение, отвечающее условию задачи: x(1 - 0,2)(1 + ) = x. Из этого уравнения находим, что , т.е. зарплату следует увеличить на 25%.
Ответ: 25%.

Стр. #

Пример 14. Арбуз дешевле дыни на 75%. На сколько процентов дыня дороже арбуза?
Решение. Здесь важно понять, что с чем сравнивается. Чтобы узнать цену арбуза, нужно знать цену дыни, поэтому за d обозначим цену дыни. Тогда цена арбуза Разница в цене равна Чтобы узнать, на сколько процентов дыня дороже арбуза, нужно разницу поделить на цену арбуза: .
Таким образом, дыня дороже арбуза на 300% или в 4 раза (
Ответ: 300%.
Пример 15. Влажность свежих грибов 90% , а сухих – 15% . Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих?
Решение. Пусть x (кг) – количество сухих грибов. Тогда количество «совсем» сухого вещества в свежих грибах равно 0,1 1,7 = 0,17 (кг), а количество «совсем» сухого вещества в сухих грибах равно 0,85x (кг). Приравнивая сухое вещество, получим: 0,85x = 0,17. Откуда x = 0,2 (кг).
Ответ: 0,2 (кг).

Составила рекомендации
учитель математики МОУ «СОШ №11”
Тетерина Лариса Витальевна

#

#

Советы выпускнику при подготовке к ЕГЭ

Советы выпускнику при подготовке к ЕГЭ