I тип заданий: угол наклона касательной
Задание 1. Рассмотрим касательные. Сначала сравниваем прямые идущие на подъем. Это прямые проходящие через точки A и D. Обратите внимание, что для прямой проходящей через точку D удобно спустить вниз ось OX. Сравним углы между прямой и положительным направлением оси OX . Это острые углы они выделены красным. Значения производных функции в этих точках положительны. Чем больше угол тем больше значение производной. В точке А угол больше. Выбираем среди положительных чисел наибольшее это 1,5. Точке D соответствует число 0,2. Теперь сравниваем прямые идущие на спуск. Это прямые проходящие через точки B и C. Обратите внимание что для прямой проходящей через точку В удобно поднять ось OX. Сравним углы между прямой и положительным направлением оси OX – это тупые углы, они выделены синим. Значения производных функции отрицательны. Чем больше угол тем больше значение производной. В точке В угол больше. Выбираем среди отрицательных чисел наибольшее это -0,2. Точке С соответствует число -4. Заполняем таблицу.
Ответ: 4312
Задание 2. Рассмотрим касательные. Сначала сравниваем прямые идущие на подъем. Это прямые проходящие через точки A и D. Сравним углы между прямой и положительным направлением оси OX. Это острые углы они выделены красным. Значения производных функции положительны. Чем больше угол тем больше значение производной. В точке А угол больше. Выбираем среди положительных чисел наибольшее это 2. Точке D соответствует число 0,5. Теперь сравниваем прямые идущие на спуск. Это прямые проходящие через точки B и C. Обратите внимание что для прямой проходящей через точку В удобно поднять ось OX. Сравним углы между прямой и положительным направлением оси OX – это тупые углы, они выделены синим. Значения производных функции отрицательны. Чем больше угол тем больше значение производной. В точке В угол больше. Выбираем среди отрицательных чисел наибольшее это – 0,3. Точке С соответствует число – 1,5. Заполняем таблицу.
Ответ: 3412
II тип заданий: промежутки знакопостоянства и возрастания и убывания функции
Задание 3. Ребята в этом задании удобно идти от характеристик к точкам. Итак характеристика первая «значение функции в точке положительно» значит точка должна располагаться на той части графика которая лежит выше оси ОХ (в данном случае это точки B и D). Эти области выделены красным. Продолжаем читать характеристику первую «значение производной функции в точке отрицательно» это означает что функция убывающая и график идет вниз. Точка B лежит на спуске. Соединим линией 1 и B. Выбираем характеристику для точки D, «значение производной функции в точке положительно» это означает что функция возрастающая и график идет вверх. Точка D лежит на подъеме. Соединим линией 4 и D. Вторая характеристика «значение функции в точке отрицательно» значит точка должна располагаться в той части графика, которая лежит ниже оси ОХ (это точки A и C) эти области выделены синим. Продолжаем читать характеристику вторую «значение производной функции в точке отрицательно» это означает, что функция убывающая и график идет вниз. Точка С лежит на спуске. Соеденим линиями 2 и С. Выбираем характеристику для точки А, «значение производной функции в точке положительно» - это означает, что функция возрастающая и график идет вверх. Точка А лежит на подъёме. Соединим линией А и 3. Заполняем таблицу.
Ответ: 3124
Задание 4. Ребята в этом задании продолжаем от характеристик к точкам. Итак характеристика первая «значение функции в точке отрицательно» значит точка должна располагаться в той части графика которая лежит ниже оси ОХ (это точки B и C). Эти области выделены синим. Продолжаем читать характеристику «значение производной функции в точке отрицательно» это означает что функция убывающая и график идет вниз. Точка B лежит на спуске. Соединим линией 1 и B. Выбираем характеристику для точки С, «значение производной функции в точке положительно» это означает что функция возрастающая и график идет вверх. Точка С лежит на подъеме. Соединим линией С и 3. Вторая характеристика «значение функции в точке положительно» значит точка должна располагаться на той части графика, которая лежит выше оси ОХ (в данном случае это точки A и D) эти области выделены красным. Продолжаем читать характеристику вторую «значение производной функции в точке положительно» это означает, что функция возрастающая и график идет вверх. Точка D лежит на подъеме. Соединим линией 2 и D. Теперь выбираем характеристику для точки А, «значение производной функции в точке отрицательно» - это означает, что функция убывающая и график идет вниз. Точка А лежит на спуске. Соединим линией А и 4. Заполняем таблицу. Ответ: 4132
III тип заданий: характеристика функции и её производной
Задание 5.
Проведем вертикальные прямые через точки a, b, с, d, e. Получим четыре интервала (a; b), (b; с), (с; d), (d; е). В этом задании также идем от характеристик к точкам.
1) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала, значит ищем тот интервал, где функция возрастает - это (с; d). Ответ: (В – 1)
2) « значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала значит нам подходит тот интервал где функция убывает т.е (а; b). Ответ: (А – 2)
3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала Нам подходит тот интервал где функция лежит ниже оси ОХ т.е (b; с). Ответ: (Б – 3).
4)Значения функции положительны в каждой точке интервала значит ищем тот интервал где функция лежит выше оси ОХ т .е (d; е). Ответ: (Г – 4).
Заполняем таблицу. Ответ: 2314
Задание 6.
Проведем вертикальные прямые через точки a, b, с, d, e. Получим четыре интервала (a; b), (b; с), (с; d), (d; е). В этом задании также идем от характеристик к точкам.
1) Значения функции положительны в каждой точке интервала значит ищем тот интервал где функция лежит выше оси ОХ т .е (d; е). Ответ: (Г – 1).
2) « значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала значит нам подходит тот интервал где функция убывает т.е (а; b). Ответ: (А – 2)
3) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала, значит ищем тот интервал, где функция возрастает - это (с; d). Ответ: (В – 3)
4) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала. Нам подходит тот интервал где функция лежит ниже оси ОХ т.е (b; с). Ответ: (Б – 4).
Заполняем таблицу. Ответ: 2431
IV тип заданий: значение производной функции в точке хo
Задание 7. Значение производной функции в точке xo это tg угла наклона касательной к графику функции в точке xo. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в углах клеток. Если касательная образует острый угол с положительным направлением оси OX tg угла больше нуля, производная положительна и треугольники выделены красным. Рядом с треугольником поставим «+» напоминание о том, что значение производной положительно. Если касательная образует тупой угол с положительным направлением оси OX tg угла меньше нуля производная отрицательна и треугольники выделены синим. Рядом с треугольником поставим «–» напоминание о том что значение производной отрицательно. Найдем тангенс угла наклона это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Заполняем таблицу. Ответ: 3421
Задание 8. Значение производной функции в точке xo это tg угла наклона касательной к графику функции в точке xo. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в углах клеток. Если касательная образует острый угол с положительным направлением оси OX tg угла больше нуля, производная положительна и треугольники выделены красным. Рядом с треугольником поставим «+» напоминание о том, что значение производной положительно. Если касательная образует тупой угол с положительным направлением оси OX tg угла меньше нуля производная отрицательна и треугольники выделены синим. Рядом с треугольником поставим «–» напоминание о том что значение производной отрицательно. Найдем тангенс угла наклона это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Заполняем таблицу. Ответ 3241
V тип заданий: угловой коэффициент и угол наклона прямой
Задание 9. Линейная функция имеет вид y = kx+b. Производная функции равна k, k – величина постоянная, т.е. не зависит от значения x. Поэтому задача сводится к нахождению углового коэффициента прямой. Угловой коэффициент прямой это тангенс угла наклона. Строим прямоугольные треугольники выделяем их красным и синим цветом. Расставляем знаки «+» и «–» как напоминание о знаке производной и находим тангенсы углов (отношение противолежащего катета к прилежащему).
Заполняем таблицу. Ответ 1324
Задание 10. Линейная функция имеет вид y = kx+b. Производная функции равна k, k – величина постоянная, т.е. не зависит от значения x. Поэтому задача сводится к нахождению углового коэффициента прямой. Угловой коэффициент прямой это тангенс угла наклона. Строим прямоугольные треугольники выделяем их красным и синим цветом. Расставляем знаки «+» и «–» как напоминание о знаке производной и находим тангенсы углов (отношение противолежащего катета к прилежащему).
Заполняем таблицу. Ответ 4321