Решение задач на кредиты. Подготовка к ЕГЭ

Кредит — денежная сумма, которую банк даёт на определённый срок и на определённых условиях. Другими словами, это долг перед банком.

При выплате кредита человек сталкивается с обязательными платежами, которые различаются лишь схемой выплат. В задачах егэ их всего две: аннуитетная и дифференцированная. Надо понимать, что эти схемы по сравнению с реальными - упрощенные.

Аннуитетные платежи.

Этот вид платежей часто включается в задачи банка ЕГЭ.

Аннуитетные платежи — такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (или в другой период времени, в зависимости от договора) равными платежами или фиксированными. Каждый расчётный период (месяц, год) на кредит начисляются установленные проценты. Следовательно, выплачивая кредит по аннуитетным платежам, мы одновременно гасим и часть кредита, и процент.

Определить, что задача на аннуитетные платежи можно по ключевым словам:

• выплаты равны между собой;
• выплаты фиксированные.

Чтобы сделать полноценную модель, надо нарисовать таблицу. В ней будут следующие столбцы: год, долг без %, долг с %, выплата, остаток.

В зависимости от условия задачи, содержимое таблицы может меняться.

При этом для любой схемы получаем: долг с процентами − выплата = остаток.

S-кредит, А-платеж, r – количество %, k=1+r/100

Если выплачивать равными платежами два года: (Sk-A)k-A=0

3 года: ((Sk-A)k-A)k-A=0

4 года: (((Sk-A)k-A)k-A)k-A=0

Дифференцированные платежи

Задачи банка ЕГЭ включают и другую схему кредитных выплат — дифференцированную.

Дифференцированные платежи — такая система выплат, при которой сумма долга уменьшается равномерно.

В этом случае сумма кредита делится на несколько равных частей, которые выплачиваются банку вместе с начисленными на остаток процентами. Из этих двух частей будет складываться платёж — причём с каждым периодом он будет уменьшаться, поскольку будет уменьшаться и процент, который начисляется на остаток.

Рассмотрим равномерное убывание долга до 0.

Пусть S — кредит. Отметим, что кредит каждый месяц будет уменьшаться на М. n-количество месяцев, r-количество %, k=r/100.

Таблица на n месяцев слишком большая (а в задачах на ЕГЭ могут встретиться таблицы ещё больше), поэтому мы будем рассматривать только первые два года и последний. Заметим еще раз, что долг с процентами − выплата = остаток, т.е.  долг с процентами −остаток = выплата.

Поэтому платеж равен: % на остаток долга + величина уменьшения долга. Если это понять, то колонку с платежами можно быстро заполнять.

Общая сумма выплат: nSk-Mk(1+2+…+n-1)+nM.

Имеет смысл объяснить, как ее получить и упростить, используя арифметическую прогрессию.

Рассмотрим равномерное убывание долга до R за n месяцев и полное погашение за n+1 месяц.

Пусть S — кредит. n месяцев долг убывал равномерно до какой-то величины R. М-величина убывания долга, r-количество %, k=r/100 и в n+1 месяц полностью погасили кредит.

Общая сумма выплат: nSk-Mk(1+2+…+n-1)+nM+Rk+R.

Рассмотрим убывание долга по таблице.

Пусть S — кредит, r - количество %, k=r/100

долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Вспомним, что платеж равен: % на остаток долга + величина уменьшения долга. Составим для быстроты неполную таблицу.

Данный материал можно компактно представить в виде схемы, которую можно раздать как справочный материал.

Рассмотрим некоторые задачи.

Задача 1. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Определим тип кредита. В тексте есть сказано, что долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Значит перед нами задачи на дифференцированные платежи.

Пусть S — кредит. Отметим, что кредит каждый месяц будет уменьшаться на М. r-количество %, k=r/100.

Составим упрощенную таблицу.

Общая сумма платежей равна:

17Sk-Mk(1+2+…+16)+17M=17Sk-Mk*17*8+17M=17Sk-8Sk+S=9Sk+S.

При упрощении выражения мы использовали формулу суммы арифметической прогрессии и условие S-17M=0.

По условию задачи имеем: 9Sk+S=1,27S, откуда r=3.

Ответ: 3.

Задача 2. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Заметим, что в задаче речь идет о равномерном убывании долга до R за 20 месяцев и полное погашение за 21месяц.

Пусть S(тыс.руб.) — кредит. 20 месяцев долг убывал равномерно до какой-то величины R. М=30(тыс.руб.) - величина убывания долга, k=3/100 и в 21 месяц полностью погасили кредит. Составим таблицу.

Общая сумма платежей равна: 20Sk-30k(1+2+…+19)+20M+ Rk+R=1604.

Используя уравнение S-20M=R, получим 1,63S=1793, S=1100.

Ответ: 1100 тыс.руб.

Задача 3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Очевидно, это задача на убывание долга по таблице.

Пусть S — кредит, k=5/100

Долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Вспомним, что платеж равен: % на остаток долга + величина уменьшения долга. Составим для быстроты таблицу.

Общая сумма выплат равна: Sk (1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5)+ S=4,5Sk+S=1,225S.

Данная величина больше S на (1,225S-S): S*100=22,5 процентов.

Ответ: 22,5.