Выполнила:
Шевцова К.,
ученица 9 класса
Руководитель:
Шмелева О.Н.,
учитель математики
Введение
При подготовке к уроку геометрии мне попался на глаза интересный геометрический объект — лист Мёбиуса. Это открытие вдохновило меня изучить его строение и применение в жизни. В результате я решила исследовать уникальные свойства листа Мёбиуса и провести мастер-класс для одноклассников.
Несмотря на то, что лист Мёбиуса был открыт ещё в XIX веке, его актуальность не угасает. Интерес к нему сохраняется и в современном мире. Удивительные свойства этого объекта находят применение в таких областях, как инженерия, физика, живопись, архитектура, ювелирное искусство и даже кулинария. Он вдохновляет множество писателей и художников. Я погрузилась в литературу по этой теме, изготовила собственный лист Мёбиуса, провела исследования и эксперименты, изучив его экстраординарные свойства.
Многие знают о существовании листа Мёбиуса, но для тех, кто с ним еще не знаком, я предлагаю провести совместное исследование. Это углубит понимание математики как прикладной науки.
Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.
Предмет исследования: свойства листа Мёбиуса.
Цель работы: изучить поверхность листа Мёбиуса и его уникальные свойства.
Задачи:
- изучить историю открытия листа Мёбиуса;
- изготовить лист Мёбиуса и исследовать его свойства;
- найти объекты в окружающем мире, обладающие подобными свойствами, как у листа Мёбиуса;
- определить области применения листа Мёбиуса в повседневной жизни.
Основная часть
Наука топология
Лист Мёбиуса является одним из важных объектов в математической области, известной как «топология». Топология изучает непрерывные свойства фигур и исследует, как эти свойства остаются неизменными при различных деформациях, таких как растяжение или сжатие. Она фокусируется на фигурах, которые не теряют свои характеристики при изменении формы, при этом не допускает разрывов или сцеплений.
С точки зрения топологии, фигуры могут сгибаться, скручиваться и растягиваться. Например, тополог может трансформировать одну фигуру в другую, используя разные методы деформации, но не может их разрывать или склеивать. В этом контексте баранка и кружка считаются эквивалентными объектами. Используя кусок резины, можно изменять и адаптировать одну форму к другой.
С другой стороны, баранка и мяч являются различными объектами. Чтобы сделать отверстие в мяче, нужно разрывать резиновую поверхность, что отличает их друг от друга. Топология — это дисциплина, результаты которой применяются в математике, технике и экономике.
Лист Мебиуса
Любой тонкий предмет, будь то лист бумаги, кусок ткани, картон или тарелка, обычно обладает двумя поверхностями: внешней и внутренней. Но может ли лист бумаги иметь всего одну поверхность? Ответ на этот вопрос — да, и таким примером является лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса представляет собой полоску бумаги, которую поворачивают на пол-оборота (180 градусов) с одного конца и склеивают с другим. Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью.
Лист Мёбиуса получил свое название в честь немецкого математика Августа Мёбиуса, который в 1858 году обнаружил его необычные топологические свойства.
А.Ф.Мёбиус и его удивительное открытие
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) — немецкий геометр, учившийся у знаменитого «короля математиков» Карла Фридриха Гаусса. Изначально Мёбиус занимался астрономией, как и его учитель, поскольку в то время изучение математики не пользовалось популярностью, в то время как астрономия имела высокий статус. С 1816 года он начал самостоятельные астрономические наблюдения в Плейзенбургской обсерватории, а в 1818 году стал ее директором. В том же году, в возрасте всего 26 лет, он получил должность профессора в Лейпцигском университете. Мёбиус активно публиковал научные статьи, проводил лекции и занимался научными исследованиями, приобретая популярность среди студентов.
Занимаясь астрономией, Мёбиус также много размышлял о математике. Одним из его «неожиданных» открытий стала знаменитая лента Мёбиуса. По легенде, идея пришла к нему благодаря служанке, которая однажды неправильно сшила концы ленты. Увидев результат, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка оказалась не так уж глупа. Это же односторонняя кольцевая поверхность: у ленты нет изнанки!» Этот случай произошел в 1865 году.
Мёбиус совершил удивительное открытие, продемонстрировав, что существует поверхность с только одной стороной, тогда как до него считалось, что каждая поверхность имеет две стороны. Это открытие получило математическое обоснование и стало символом его имени.
Интересно, что парижские модницы использовали ленту Мёбиуса в своей работе: чтобы устроиться в портняжную мастерскую, нужно было пришить тесьму в виде ленты Мёбиуса к подолу юбки. Значение ленты Мёбиуса заключается не только в ее практическом применении, но и в том, что она вдохновила новые, масштабные исследования в области математики. Сегодня лента Мёбиуса считается символом современной математики.
Исследовательская деятельность
Свойства листа Мёбиуса
Все мы интуитивно понимаем, что такое «поверхность». Однако возникает вопрос: может ли поверхность листа бумаги, стен класса или даже земного шара обладать чем-то необычным? Ответ положителен, и примером такой необычной поверхности служит лист Мёбиуса. В рамках изучения его свойств было проведено несколько интересных экспериментов.
Первое свойство — односторонность. Если двигаться по поверхности ленты Мёбиуса в одном направлении, не пересекаясь с ее границами, то рано или поздно мы окажемся на обратной стороне, которая, по сути, является перевернутой версией исходной. Хотя у ленты, из которой изготовлен лист Мёбиуса, действительно есть две стороны, сам лист обладает лишь одной стороной. Если взять фломастер и раскрашивать ленту, не поднимая его, в конце концов мы обнаружим, что вся лента оказывается закрашенной. Это происходит потому, что поверхность ленты Мёбиуса является односторонней, но при этом не обладает ориентированностью.
Второе свойство — связность. Если разрезать лист Мёбиуса вдоль, он не разделится на два отдельных кольца, а превратится в одну целую ленту. Это свойство демонстрирует, что лента остается целостной, несмотря на разрез.
Третье свойство — непрерывность. На листе Мёбиуса любую точку можно соединить с любой другой, не отрывая инструмента. Например, если мы отметим две произвольные точки на ленте, мы сможем провести линию, не отрывая стержня, между этими точками.
Эти эксперименты показали, что простая полоска бумаги, скрученная всего один раз и склеенная в кольцо, превращается в удивительную ленту Мёбиуса, обладающую уникальными свойствами, такими как односторонность, непрерывность и связность.
Проведение и описание экспериментов
Что произойдет, если разрезать лист Мёбиуса вдоль на 3, 4, 5, 6, или 7 полосок? Рассмотрим несколько экспериментов с разрезанием листа Мёбиуса и его последствиями.
Эксперимент №1: Мы берем полоску шириной около 4 см и проводим по две линии вдоль, равномерно отступив от краев. После того как мы склеим лист Мёбиуса, разрезаем по проведённым линиям, что разделит его на три полоски. В результате мы получаем два кольца: одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено — оно образовано из краев исходной ленты. Второе кольцо представляет собой лист Мёбиуса, состоящий из центральной части изначального листа.
Эксперимент №2: Теперь мы берем полоску шириной примерно 5 см и проводим четыре линии вдоль, отступив от края по 1 см. Склеиваем полоску в форме листа Мёбиуса и затем разрезаем вдоль линий на пять полосок. В итоге получаем три кольца: первое — это лист Мёбиуса с одним перекрутом шириной 1 см, длина которого равна длине исходного кольца. Второе и третье кольца имеют два перекрута, ширина также 1 см, но длина вдвое больше длины исходного листа. Эти два кольца сцеплены как между собой, так и с первым кольцом.
Далее были проведены эксперименты по разрезанию листа Мёбиуса на четыре, шесть и семь полосок, и результаты этих экспериментов были занесены в таблицу. Каждое разрезание демонстрирует уникальные свойства листа Мёбиуса, показывая, как он реагирует на дальнейшее деление. Смотреть приложение.
Эти эксперименты становятся наглядной иллюстрацией необычных свойств этого геометрического объекта и помогают лучше понять его топологические характеристики.
Результаты в таблице
| Число разрезаний листа Мебиуса | Число полос вдоль листа |
Что получилось при разрезании листа Мёбиуса |
|
большие кольца |
маленькие кольца |
||
1 |
2 |
1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
1 |
3 |
4 |
2 |
0 |
4 |
5 |
2 |
1 |
5 |
6 |
3 |
0 |
6 |
7 |
3 |
1 |
Наши наблюдения о зависимости результатов разрезания листа Мёбиуса от четности числа полосок очень интересны и подчеркивают уникальные топологические свойства этого объекта.
Выводы
Четное число полосок: При разрезании листа Мёбиуса на четное количество полосок, как вы отметили, получается меньшее число больших сцепленных колец — их количество в два раза меньше, чем число полосок. Это связано с тем, что при разрезании лента в некотором смысле «расплетается», сохраняя при этом свои перекрученные свойства. Таким образом, каждое «дополнительное» разрезание ведет к образованию более крупных объектов, так как части, которые перед разрезом были отдельными, становятся связными.
Нечетное число полосок: Когда лист Мёбиуса разрезается на нечётное количество полосок, получается одно маленькое кольцо и несколько больших колец, соединенных между собой. Это объясняется тем, что при разрезании нечётное число полосок приводит к тому, что один из разрезов разделяет структуру по-другому, создавая дополнительное «маленькое» кольцо. Это маленькое кольцо, как правило, будет оставаться на месте, соединяя более крупные кольца, которые образовались из оставшейся части ленты.
Проделанная работа очень наглядно демонстрирует, как математические и топологические концепты могут приводить к удивительным и неожиданным результатам. Это также подчеркивает глубину изучения таких объектов, как лента Мёбиуса, и их значимость в математике и смежных областях. Такие эксперименты не только полезны для понимания теории, но и создают основы для дальнейшего изучения сложных концепций в топологии!
Применение листа Мёбиуса
В технике
Удивительные свойства ленты Мёбиуса находят широкое применение в различных областях техники и изобретений. Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как ее уникальные характеристики помогают в самых разных сферах:
Конвейерные ленты: Использование ленты Мёбиуса в качестве конвейерной ленты позволяет равномерно изнашивать всю поверхность, что увеличивает срок службы и эффективность работы. Поскольку вся поверхность подвергается износу, это помогает избежать преждевременных поломок.
Кассеты для магнитофонов: Для магнитофонов были разработаны специальные кассеты, которые позволяют воспроизводить звук «с двух сторон» без необходимости их переворачивать. Это стало возможным благодаря уникальной конфигурации ленты Мёбиуса.
Матричные принтеры: В матричных принтерах красящая лента часто имеет форму листа Мёбиуса. Это решение увеличивает ресурс ленты, так как обеспечивает равномерное распределение износа.
Детские игрушки: Листы Мёбиуса также используются в конструкции различных детских заводных игрушек, обеспечивая их интересные движения и поведение. Стабилизаторы рулевого колеса: В автомобильной технике лента Мёбиуса применяются в стабилизаторах рулевого колеса, что позволяет улучшить управляемость транспорта. Фотоаппараты и видеокамеры: В этих устройствах используются щелевые затворы в форме ленты Мёбиуса, что обеспечивает более плавную работу механизма.Резисторы Мёбиуса: Это новейшее изобретение в области электроники представляет собой элемент без собственной индуктивности, что делает его полезным для различных электрических разрывов.
Эти примеры показывают, что математические и топологические концепции могут переходить в практические приложения, помогая создавать более эффективные, долговечные и инновационные устройства. Лента Мёбиуса, будучи удивительным объектом, продолжает вдохновлять инженеров и изобретателей, открывая новые возможности в различных областях.
В литературе
Лента Мёбиуса также вдохновляет писателей и поэтов. Ее уникальные свойства — односторонность, непрерывность и связность — приводят к созданию множества литературных произведений, которые исследуют философские и метафорические аспекты этой удивительной концепции.
Одним из ярких примеров является рассказ Артура Кларка «Стена Темноты», в котором описываются идеи о том, как лента Мёбиуса может служить метафорой для понимания структуры нашей Вселенной. Такие нарративы часто подчеркивают цикличность и бесконечность, которые присущи как ленте, так и самой Вселенной.
В рассказе А.Дейча «Лента Мёбиуса» также затрагиваются подобные темы. Сюжет, связанный с пересечением путей метро и исчезновением поездов, создаёт атмосферу загадки и тайны, позволяя читателю задуматься о времени и пространстве. Это напоминает о свойствах ленты Мёбиуса, где понятия, являясь непостижимыми, могут пересекаться и создавать новые смыслы.
Кроме того, существуют и поэтические произведения, вдохновленные лентой Мёбиуса. Например, стихотворение Натальи Юрьевны Ивановой «Лист Мёбиуса» является прекрасной иллюстрацией того, как математическая концепция может перекликаться с философскими размышлениями о конечности и бесконечности. Символ математики: Лист Мёбиуса служит "высшей мудрости венцом", подчеркивая его значимость и красоту в математике. Неосознанная романтика: Уникальные свойства формы создают ощущение романтики, в которой скрыта бесконечность. Сложность и простота: Поэт говорит о парадоксах вечной сложности, находящейся в простоте форм, недоступной даже мудрецам. Путь в бесконечность: Завершая стихотворение, она предлагает читателю выбрать путь в бесконечность, символизируя возможность нового начала и открытие новых горизонтов.
Лента Мёбиуса становится метафорой для следующих за пределами обычного мира, приглашая нас размышлять о сложных понятиях времени, пространства и существования. В этих литературных произведениях она выполняет не только роль математического объекта, но и служит символом более глубоких философских идей.
В графическом искусстве и скульптуре
Лента Мёбиуса служит не только научным объектом, но и мощным источником вдохновения в графическом искусстве и скульптуре. Многие художники и скульпторы обратили внимание на ее уникальные свойства, используя их для создания произведений, которые привлекают внимание к математике и геометрии.
Одним из самых известных художников, работавших с темой ленты Мёбиуса, является Морис Эшер. Его литографии, в которых изображены муравьи, ползущие по поверхности ленты, прекрасно иллюстрируют, как один объект может выглядеть как два, находясь на самом деле на одной поверхности. Эшер использовал геометрию, фракталы и оптические иллюзии в своих работах, что придает им особую многослойность и интригует зрителей.
В Москве можно увидеть памятник «Ленте Мёбиуса» на станции метро «Фрунзенская», который служит ярким примером графики, соединяющей искусство и математику. Эта скульптура является частью городского ландшафта и привлечет внимание не только любителей искусства, но и тех, кто интересуется математикой.
Другим выдающимся произведением является скульптура «Лента Мебиуса и шар», созданная российским художником Александром Эткало. Эта работа отлично демонстрирует взаимодействие простых форм и сложных концепций, характерных для ленты Мёбиуса.
Находясь у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне, можно увидеть вращающуюся металлическую ленту, закрученную на полвитка. Этот проект символизирует бесконечность и гармонию, характерные для самого объекта.
Макс Билл, знаменитый швейцарский скульптор и архитектор, также создал целую серию работ в форме ленты Мёбиуса. Его гигантская скульптура «Древо жизни», которая соединяет мотивы коры дерева, человеческого сердца и ленты, является мощной метафорой единства искусства и науки.
Кроме того, в городах, таких как Минск, можно найти небольшие скульптуры, изображающие ленту Мёбиуса. Они украшают парки и скверы, добавляя элементы искусства в повседневную жизнь. Сквер возле Центральной научной библиотеки имени Якуба Коласа — один из таких примеров. Лента Мёбиуса также была установлена в Риге, на месте бывшего памятника Ленину, в честь 800-летия города. Это показывает, как концепция ленты может ассоциироваться с преемственностью и историей.
Таким образом, лента Мёбиуса вдохновила множество художников на создание произведений, которые не только акцентируют внимание на эстетике, но и подчеркивают взаимодействие между искусством и наукой. Эти художественные выражения укрепляют наше понимание и восприятие сложных математических концепций.
В архитектуре
Лента Мёбиуса активно вдохновляет не только в искусстве, но и в архитектуре, где ее уникальные свойства и концепции служат вдохновением для создания необычных построек. Одной из таких архитектурных реализаций является «Дом Мёбиус», возведенный в Нидерландах в период с 1992 по 1998 год.
Эта структура символизирует сосуществование двух параллельных миров, каждый из которых оборудован кабинетом и спальней. Обе части дома соединяются в определенных точках и расходятся снова, что создает уникальное ощущение пространственной и функциональной взаимосвязи.
Интересный проект, вдохновленный лентой Мёбиуса, был представлен архитектурной компанией DWP Architects и разработан для вьетнамского города Хошимин. Многофункциональный жилой комплекс сочетает в себе различные функции и зоны, отражая идею о бесконечности и непрерывности пространства, присущей ленте Мёбиуса.
Таким образом, лента Мёбиуса продолжает оставаться источником вдохновения для архитекторов и дизайнеров по всему миру. Объекты, созданные на основе ее концепции, становятся символами инновационного подхода к пространству и функциональности, подчеркивая взаимосвязь между формой и содержанием, искусством и наукой.
В повседневной жизни
Лента Мёбиуса, обладая уникальными свойствами однонаправленной поверхности и бесконечности, находит применение в самых различных сферах повседневной жизни, привлекая внимание не только математиков и художников, но и фокусников, ювелиров, дизайнеров и кулинаров. На протяжении более ста лет лента Мёбиуса активно используется в мире магии и иллюзий. Цирковые артисты демонстрируют удивительные свойства этого математического объекта: к примеру, фокусники используют свернутые в форму ленты Мёбиуса блестящие полосы для эффектных трюков. Один из популярных фокусов включает разрезание ленты в определённой точке, что приводит к впечатляющим результатам — одна лента удлиняется, а другая превращается в две соединенные ленты. В ювелирном искусстве тоже нашли своё отражение формы ленты Мёбиуса. Дизайнеры создают великолепные кольца и кулоны, основанные на этом математическом объекте, придавая своим украшениям не только стильный вид, но и глубокий смысл, символизирующий бесконечность.
Дизайнеры мебели черпают вдохновение у ленты Мёбиуса, создавая оригинальные предметы интерьера. Например, шезлонг из британского дуба имеет форму, которая напоминает ленту Мёбиуса, сочетая практичность и эстетическую привлекательность.
Обувщики, в свою очередь, также были вдохновлены этой концепцией. Голландский дизайнер Рэм Колхаас разработал уникальный силуэт туфель, имитирующий хитроумно свернутую ленту, став примером креативного подхода в мире моды.
Лента Мёбиуса нашла применение и в кулинарии, где её формы используются для создания привлекательных булочек, сушек и других угощений. Она также служит основой для разработки уникальных инструментов, упрощающих процесс приготовления пищи.
Мотивы ленты Мёбиуса можно встретить в названиях художественных произведений, общественных заведений и логотипов. Например, эмблема механико-математического факультета Московского университета включает в себя элементы ленты Мёбиуса, символизируя единство науки и искусства.
Кроме того, символ вселенной также представлен в виде ленты Мёбиуса, что подчеркивает связь между математикой, физикой и философией.
За последние годы в разных странах было выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты, что свидетельствует о её широкой популярности и многообразии применений. Лента Мёбиуса продолжает вдохновлять людей на поиски новых возможностью в различных аспектах жизни.
«Памятники» математику А.Ф.Мёбиусу
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка, демонстрируя удивительную форму ленты Мёбиуса. Этот объект стал символом не только математической красоты, но и глубоких концепций.
В 1967 году, во время международного математического конгресса, который проходил в Бразилии, организаторы выпустили памятную марку номиналом в пять сентаво, на которой также была изображена лента Мёбиуса. Эта марка и монумент высотой более двух метров служат своеобразными данью уважения немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, который занимал должность профессора в Лейпцигском университете.
В честь этого выдающегося ученого был назван астероид 28516 (Möbius), что подчеркивает его значимость в мире науки.
Существует гипотеза, что сама спираль ДНК может быть фрагментом полосы Мёбиуса. Это объясняет, почему генетический код столь сложен для расшифровки и восприятия. Такая структура логично объясняет и биологическую смерть — спираль замыкается сама на себя, что ведет к самоуничтожению.
Заключение
Работая над этой темой, я узнала много нового о выдающемся ученом Августе Мёбиусе и его открытиях. Лист Мёбиуса стал первой односторонней поверхностью, обнаруженной ученым, и впоследствии математики открыли множество других односторонних поверхностей. Однако именно эта поверхность, заложившая основы целого направления в геометрии, продолжает привлекать внимание ученых, изобретателей и художников по всему миру.
В данной работе я стремилась раскрыть основные свойства этой удивительной поверхности, показать её практическое значение и доказать, что лист Мёбиуса представляет собой важную топологическую фигуру. Его значение заключается не только в математических исследованиях, но и в широком круге влияния на различные области искусства и науки.
Лист Мёбиуса оказал влияние не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и представителей многих других профессий. Благодаря этому мы стали свидетелями появления прекрасных произведений искусства: картин, скульптур, марок, татуировок и других форм самовыражения, в которых изображена лента Мёбиуса. Она служит источником вдохновения и продолжает вдохновлять новое поколение творцов.
Список литературы
- Воронец А.М. Математические развлечения. М.: Учпедгиз, 1981.
- Гарднер М. Математические досуги. М.: 1992.
- Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел для учащихся. М.: Просвещение, 1996.
- Кордемский Б.А. Топологические опыты своими руками./ «Квант» №3, 1974, стр.73.
- Коробенок Е.В., Столяр А.А. Сколько сторон у поверхности?: Беседы с учащимися VII-X классов. Минск: Народная асвета, 1995.
- Леман И. Увлекательная математика. М.: Знание, 1985.
- Лоповок Л.М. Математика на досуге: Книга для учащихся среднего школьного возраста (IV-VIII классы). М.: Просвещение, 1990.
- Мубаракзянов Г.М.Математические символы и термины, история их возникновения. Казань: Изд-во “Фән” Академии наук Рт, 2008.
- Рупасов К.А. Математика на школьной сцене. Тамбов, 1999.
- Научно-популярный журнал "Квант" 1975 г. №7, 1977 №7.
Интернет-ресурсы:
- http://websib.ru/noos/math/listmebiusa/index.html
- http://canegor.urc.ac.ru/training/2/vozp.htm
- http://host.km.ru/sashka/ho7/lenta.htm