Задачи на кредиты. Аннуитетные платежи. (Нахождение суммы кредита)
Теоретический материал
Аннуитетные платежи (постоянные ежемесячные или ежегодные платежи, которые не меняются на протяжении всего периода кредитования).
Общий вид заполнения таблиц по условию задачи.
S - сумма кредита, r% - годовые (ежемесячные) проценты. b=1+0,01r - коэффициент, х - ежегодная (ежемесячная) выплата.
|
Год
|
Долг с % |
Выплата |
Долг после выплаты |
|
0 |
S |
||
|
1 год |
Sb |
x |
Sb-x |
|
2 год |
(Sb-x)b=Sb2-xb |
x |
Sb2-xb-x |
|
3 год |
(Sb2-xb-x)b=Sb3-xb2-xb |
x |
Sb3-x b2-xb-x |
|
n год |
Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb |
x |
Полная выплата, долг равен 0 |
Тип 1. Нахождение суммы кредита.
Задача 1. 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12%), затем Сергей переводит в банк 3512320 рублей. Какую сумму взял Сергей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение:
Условие: Ставка (r) - 12%, b=1,12
Ежегодная выплата (х) - 3512320 рублей, Количество лет (n) 3 года.
|
Год |
Долг с % |
Платёж |
Долг после выплаты |
|
0 |
S |
||
|
1 год |
Sb |
х |
Sb-x |
|
2 год |
b(Sb-x) |
х |
Sb2-xb-x |
|
3 год |
b(Sb2-xb-x) |
х |
Sb3-x b2-xb-x |
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2. 31 декабря 2014 года Игорь взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 13%), затем Игорь переводит в банк 5107600 рублей. Какую сумму взял Игорь в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами ( то есть за два года)?
Ответ: 8520000 рублей.
Задача 3. 31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Ответ: 9282000 рублей.
Нахождение суммы платежа (X), процентной ставки(r), общей суммы выплат?
Задача 1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение:
Условие: Ставка (r) - 10% , b=1,1, S = 9282000
Ежегодная выплата (х) - ?, Количество лет (n) 4 года.
|
Год |
Долг с % |
Платёж |
Долг после выплаты |
|
0 |
S |
||
|
1 год |
Sb |
х |
Sb-x |
|
2 год |
b(Sb-x) |
х |
Sb2-xb-x |
|
3 год |
b(Sb2-xb-x) |
х |
Sb3-xb2-xb-x |
|
4 год |
b(Sb3-xb2-xb-x) |
x |
Sb4-xb3-xb2-xb-x |
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год -150 000 рублей.
Задача 3. 31 декабря 2014 года Иван взял в банке 4230000 рублей в кредит по 11,5% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11,5%), затем Иван переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Иван выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Задача 4. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года?
Задача 5. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.
Задачи на кредиты. Дифференцируемые платежи. (Нахождение срока кредита)
Теоретический материал
3. Дифференцируемые платежи (ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину)
Общий вид заполнения таблиц по условию задачи.
S - сумма кредита, r% - годовые (ежемесячные) проценты. b=1+0,01r - коэффициент, n - кол-во месяцев (лет)
| Месяц |
Долг с % |
Выплата |
Долг после выплаты |
|
0 |
S |
||
|
1 |
Sb |
Sb |
|
|
2 |
|
|
|
|
n-1 |
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
Тип 1. Нахождение срока кредита.
Задача 1. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?
Решение:
Условие: Ставка (r) - 3%, b=1,03, S - сумма кредита.
Общая сумма выплат - на 30% больше суммы взятой в кредит, то есть равна 1.3S. n - количество мес.
|
Месяц
|
Долг с % |
Выплата |
Долг после выплаты |
|
0 |
S |
||
|
1 |
Sb |
Sb |
|
|
2 |
|
|
|
|
n-1 |
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
Ответ: 19 месяцев.
Тип 2. Нахождение суммы кредита после всего срока.
Задача 1. 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на пятый месяц кредитования нужно выплатить 57,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Условие: Ставка (r) - 3% , b=1,03, S - сумма кредита.
Общая сумма выплат - ?. n - 9 месяцев.
|
Месяц
|
Долг с % |
Выплата |
Долг после выплаты |
|||
|
0 |
S |
|||||
|
1 |
Sb |
Sb |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|||
|
6 |
||||||
|
…………………….. |
||||||
|
9 |
|
|
|
|||
Найдем S из условия: на пятый месяц кредитования нужно выплатить 57,5 тыс. рублей
S x 1.15 = 517.5
В итоге общая сумма выплат = 1,15*450=517,5 тыс. рублей
Ответ: 517,5 тыс. рублей
Задачи на кредиты. Дифференцируемые платежи
Тип 2. Нахождение процента по кредиту
Задача 1. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Решение:
Условие: Ставка (r) - ?, b= b=1+0,01r, S - сумма кредита.
Общая сумма выплат =1,13S. n - 12 месяцев.
|
Месяц |
Долг с % |
Выплата |
Долг после выплаты |
|||
|
0 |
S |
|||||
|
1 |
Sb |
Sb |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|||
|
………………… |
||||||
|
11 |
|
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
|||
Ответ: 2%.
Задача 1. 15 января планируется взять кредит в банке на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:
• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 49% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Задача 2.15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?
Задача 3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
• каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если наименьший годовой платѐж составит 1,25 млн рублей?
Задача 4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
• каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платѐж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший - не менее 0,6 млн рублей.
Задача 5. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
• каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле 2018, 2019 и 2020 гг. долг остаѐтся равным S тыс. рублей;
• выплаты в 2021 и 2022 годах равны по 360 тыс. рублей;
• к июлю 2022 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет. Ответ дайте в тыс. рублей.