Математическое вышивание

Автор:

Ковалева Кристина,
ученица 5 класса

Руководитель:

Мухина Л.Г.,
учитель математики
высшей категории

Введение

Девочки, вышивание, уроки технологии - это так взаимосвязано, и математика никак не вписывается в эту троицу. Но это на первый взгляд.

Почему наш мир прекрасен? Паутины создаются в природе, их плетет паук, и они невероятно красивые, кажется, что человек не способен создать такую красоту сам, но вот и нет. Почему формы и цвета живой природы не во всем соответствуют принципу биологической целесообразности, но во всем следуют общим закономерностям гармонии. Гармония означает «согласованность, соразмерность, единство частей и целого, обуславливающие внутреннюю и внешнюю форму предмета, события, явления, их совершенство». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии, пропорциональности. Последние две характеристики относятся, прежде всего, к математике. Ведь математика - это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. При помощи математического расчета кривые можно сплести так, что получится любая, самая совершенная по своей красоте паутина.

Получается, что существует связь между вышиванием и математикой? Оказывается, их связывает математическое вышивание, или вышивание в технике «Изонить».

В данной работе проводится аналогия между реальными (природными) и математическими образами, что способствует формированию целостной картины мира, пониманию различных взаимосвязей и взаимозависимостей.

Целью работы является знакомство с новым методом конструирования кривых - математическим вышиванием, используя знакомые приемы построения геометрических фигур: построение прямого угла с помощью угольника, деление отрезка на равные части, соединение точек в определенной последовательности, деление окружности на равные части с помощью транспортира, построение окружности с помощью циркуля.

Происходит знакомство с терминами: изонить, кардиоида, нефроида, астроида. В работе уделяется большое внимание навыкам конструирования перечисленных выше кривых.

Данная работа позволяет с одной стороны углубить и расширить представления учащихся об известных им геометрических фигурах, а с другой - подготавливает их к систематизации изучению геометрии в дальнейшем.

Выполняя работу «Математическое вышивание» было столкновение не только с математической задачей создания кривых с помощью огибающих касательных, но и с проблемой выбора цвета и сочетания цветов, а это уже активизация умственной деятельности, а также повышение чувственной и ассоциативной активности, стимулирование творчества, поиск красоты и гармонии.

Актуальность: Любовь к математике и вышиванию привели к необходимости найти общее между ними заняться математическим вышиванием.

Проблема: На каких математических принципах основано вышивание на окружности.

Цель: знакомство с новым методом конструирования кривых - математическим вышиванием, используя знакомые приемы построения геометрических фигур.

Задачи:

• Выделить основные математические понятия, используемые в вышивании изонить.
• Определить зависимость рисунка от математической модели исходного чертежа.
• Сформировать практические навыки изображения геометрических фигур с помощью нитяной графики.
• Развить творческую и познавательную активность, художественное восприятие и вкус
• Развить абстрактное мышление, обучиться плоскостному моделированию, умению составлять из геометрических фигур изображения предметов и композиций.

Гипотеза: Возможно ли в технике «Изонить» построить некоторые замечательные кривые.

Основная часть

Что такое математическое вышивание?

Паутины создаются в природе, их плетет паук, и они невероятно красивые. Кажется, что человек не способен создать такую красоту сам, но вот и нет. При помощи математического расчета можно сплести всевозможные кривые линии так, что получится любая, самая совершенная по своей красоте паутина.

Впервые появилась в Англии в 17 веке. Это оригинальный вид декоративно-прикладного искусства, уходящий корнями к народным мастерам Англии. Английские ткачи придумали особый способ переплетения нитей. Они вбивали в дощечки гвозди и в определенной последовательности натягивали на них цветные нити. В результате получались ажурные кружевные изделия, которые использовались для украшения жилищ, предметов быта, для оформления интерьера, для изготовления подарков и сувениров. Достоинство изонити еще и в том, что выполняется она очень быстро и аккуратно с первого раза, да и фантазии есть, где разгуляться.

В XІX веке в женских школах был введен предмет «Математическое вышивание». На занятиях изучался способ построения кривых, который назывался методом математического вышивания.

Презентация

Математическое вышивание - это метод конструирования кривых, используя знакомые приемы построения геометрических фигур (построение прямого угла с помощью угольника, деление отрезка на равные части, соединение точек в определенной последовательности, деление окружности на равные части с помощью циркуля и транспортира). Математическую вышивку можно выполнять на кусочке картона цветными нитками. Кроме своей привлекательности, решение задач способом математического вышивания позволяет расширить геометрические представления, развивает аккуратность, внимательность и трудолюбие.

Метод «математическое вышивание» имеет удивительное сходство с давно известным видом декоративно-прикладного искусства - изонитью. Изонить или нитяная графика - это графическое изображение, особым способом выполненное нитками на твердом основании. Другое ее название - хордовая вышивка.

Каждый стежок выверен и на своём месте. В любом рисунке чувствуется присутствие математической точности, идеальности. Изонить сродни калейдоскопу. Сочетая треугольники, окружности, прямые линии, овалы, ромбы, прямоугольники и т.д. можно получить множество узоров и картин.

Математическое вышивание - искусство или математика?

Техника изонити - это чистая математика:

• геометрия: понятие об углах, величине, длине сторон, понятие об окружности, о середине, центре, хорде разной длины и её направлении;
• раздел «Количество и счёт»: упражнения в количественном и порядковом счёте. Закрепляется понятие о точке отсчёта и что результат количественного счёта не зависит от начала отсчёта и направления счёта.
• раздел «Ориентировка на плоскости»: знание направлений: вверх, вниз, слева, справа;
• раздел «Симметрия»
• раздел «Замечательные кривые» - кардиоида, нефроида, астроида, улитка Паскаля, логарифмическая спираль и другие.
• изображение разных углов, окружностей, дуг, овалов, завитков, треугольников и других фигур и моделирование с их использованием образцов.

Основные приемы математического вышивания: В изонити всего три основных приёма: заполнение угла, заполнение окружности и заполнение дуги. Для этого необходимо вспомнить кое-что из математики.

Основные геометрические фигуры, используемые в вышивании изонить: окружность и угол.

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности называется радиусом.

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности.

Угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Чтобы вышить с помощью изонити, нужно разделить окружность на равные части и провести хорды равной длины или на сторонах угла от его вершины отложить одинаковое количество равных отрезков и соединить их попарно в определенной последовательности.

1. Заполнение окружности

1.1 Разделение окружности на равные части с помощью транспортира

Разобьем окружность с центром в точке О на 4 равные части 3600:4=900.

Проведем хорды, не совпадающие с диаметром. Измерим расстояние от центра окружности до хорд. Для этого опустим перпендикуляры из центра к хордам. Они равны. Значит основания перпендикуляров лежат на окружности с центром в точке О и радиусом, равном длине перпендикуляра. Основания перпендикуляров - середины хорд.

Разделим окружность с центром в точке О на 5 равных частей. 3600:5=720

Проведем хорды, не совпадающие с диаметром. Возможно 2 случая: соединяем соседние точки или через одну. В обоих случаях образуется пятиугольник с равными сторонами.

Измерим расстояние от центра окружности до хорд. Для этого опустим перпендикуляры из центра к хордам. Они равны. Значит основания перпендикуляров лежат на окружности с центром в точке О и радиусом, равном длине перпендикуляра.

Разделим окружность с центром в точке О на 6 равных частей. 3600:6=600

Проведем хорды, не совпадающие с диаметром. Возможно 2 случая: соединяем соседние точки или через одну. В обоих случаях образуется шестиугольник с равными сторонами.

Измерим расстояние от центра окружности до хорд. Для этого опустим перпендикуляры из центра к хордам. Они равны. Значит основания перпендикуляров лежат на окружности с центром в точке О и радиусом, равном длине перпендикуляра.

Аналогично поступаем при делении окружности на 8, 9, 10, 12, 18, 24, 36 частей.

1.2 Непосредственно само заполнение окружности

1. Начертить окружность нужного размера на изнаночной стороне.
2. Разделить окружность на равные части по всему периметру (можно разные). Число делений должно быть четное.
3. Размеченные точки проколоть иглой, пронумеровать.
4. Пронумеруйте сначала точки с внешней стороны окружности.
5. Затем пронумеруйте внутри него. Внутреннюю нумерацию начинают с той точки, в которую хотят ввести иглу в первый раз. Чем ближе точка, тем больше узор примыкает к окружности.
6. Затем, как при заполнении угла соединяем точки, имеющие одинаковые номера.
7. При правильном заполнении на лицевой стороне рисунок напоминает звезду, каждой точке игла проходит два раза, а на изнанке - повторяет линию окружности.
8. Если кончается нить, то на изнаночной стороне закрепить нитку и продолжить работу.

Технология выполнения рисунков одинакова, но результат разный, так как разный шаг (количество пропущенных точек). Нами выявлено, что шаг должен делиться на 3.

Если окружность разделить на равные части и провести все хорды равной длины, то они от центра окружности находятся на одинаковом расстоянии. Середины хорд лежат на окружности с тем же центром, что и исходная окружность. Чем длиннее хорда, тем меньше получится центральное отверстие. Изменяя длину хорды и количество точек, на окружностях с равным диаметром можно получить разнообразные узоры. (Приложение)

2. Заполнение угла

1. Начертить угол нужного размера на изнаночной стороне основы.
2. Разделить стороны угла на равные части и пронумеровать их (вершина угла пропускается). Число точек деления на одной и другой стороне угла должно быть одинаково, а расстояние между точками деления на сторонах угла может быть и разная.
3. Нумерация точек на одной стороне угла начинается от вершины к краю, на другой - от края к вершине.
4. Проколоть намеченные точки иглой.
5. В точке 1 с изнанки закрепить нитку скотчем, затем сделать стежок 1 - 1, далее маленький стежок с изнанки 1 - 2, стежок по лицевой стороне 2 - 2, по изнанки 2 -3, по лицевой стороне 3 - 3 и т. д.
6. Если кончается нить, то на изнаночной стороне закрепить нитку и продолжить работу.
7. В каждой точке игла проходит один раз.
8. На изнаночной стороне располагаются короткие стежки между соседними точками вдоль стороны угла, а по лицевой стороне - длинные стежки между точками с одинаковыми номерами на разных сторонах угла. Если это так, то работа выполнена правильно.
9. Чем меньше шаг разметки, тем плотнее и чаще заполняется угол, а чем больше шаг, тем прозрачнее заполнение угла.

3. Заполнение дуги

Эффектнее выглядит дуга, у которой больше искривление и чаще расположены точки.

Известные замечательные кривые

Так как математическое вышивание основывается на построении кривых, нам непременно нужно познакомиться с этим понятием.

В разговорном языке слова "кривой", "кривая", "кривое" употребляются как прилагательные, обозначающие то, что отклоняется от прямого, от правильного, от справедливого. Говорят о кривой палке, о кривой дороге, о кривом зеркале; "богат, да крив; беден, да прям", - гласит пословица.

Математики употребляют слово "кривая" обычно в смысле существительного; они разумеют под этим словом кривую линию. Что же такое кривая линия? Как охватить в одном определении все кривые, которые рисуются на бумаге карандашом или пером, на доске мелом, вычерчиваются на ночном небе "падающей звездой" или ракетой?

Понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». Но кривые мы можем заметить и в природе, и в окружающих нас предметах. Например, в траектории брошенного камня, очертание цветка и лепестках растений, извилистая линия берега реки и другие явления с давних пор заинтересовали людей. Чем же объясняется такое многообразие кривых? Во-первых, это зависит от расположения вычерчивающей точки: она может находиться на катящейся окружности или на некотором расстоянии от неё. Во-вторых, окружности могут кататься с внутренней и с внешней стороны. Если окружности катится по другой окружности с внутренней стороны, то циклоидные кривые называют гипоциклоидными. Если же она катится по внешней стороне, то её называют эпициклоидные.

Кривая или линия - геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно.

Гипоцикло́ида (от греческих слов ὑπό - под, внизу и κύκλος - круг, окружность) - плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Гипотрохоида - плоская кривая, образуемая фиксированной точкой, находящейся на фиксированной радиальной прямой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности.

Астроида - плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r.

Кардиоида (греч. καρδία - сердце, греч. εἶδος - вид) - плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Нефроида (греч. νεφρός - почка, греч. εἶδος - вид) - плоская алгебраическая кривая 6-го порядка, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся снаружи по большей в два раза окружности.

Улитка Паскаля была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля). Если взять точку не на самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля.

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно - поступательно от центра 0 по равномерновращающемуся радиусу.

Дельтоида (или кривая Штейнера) - плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Большое внимание уделяется навыкам конструирования перечисленных выше кривых.

Заключение

Большое внимание уделяется навыкам конструирования перечисленных выше кривых.

Все это позволило с одной стороны углубить и расширить представления об известных геометрических фигурах, а с другой - подготовится к систематизации изучения геометрии в дальнейшем.

В ходе построения кривых было столкновение не только с математической задачей создания кривых с помощью огибающих касательных, но и с проблемой выбора цвета и сочетания цветов, а это уже активизация умственной деятельности, а также повышение чувственной и ассоциативной активности, стимулирование творчества, поиск красоты и гармонии.

Работая в данной технике, мною были достигнуты следующие цели:

• развитие цветового восприятия;
• развитие абстрактного мышления;
• различение толщины ниток, изнаночной и лицевой стороны изделия;
• навыки владения иголкой, ниткой, работы с трафаретом;
• развитие мускулатуры кисти руки, глазомера, остроты зрения, координации движений рук под контролем глаз;
• воспитание усидчивости, терпения, внимательности, старательности;
• формирование творческих способностей;
• приобретение навыков научно-исследовательской работы.

Было узнано много нового, интересного, что способствовало развитию математического мышления, кругозора, которые помогут в дальнейшем изучении геометрии, а также приобретены навыки вышивания, что просто необходимо хорошей хозяюшке.

Я получила большое удовлетворение от процесса вышивания геометрических кривых и результатов своей работы. Математика поражает своей красотой и богатством содержания. Она красива и многогранна.
Вышивка в стиле изонить очень увлекательное занятие. С её помощью можно выполнить различные композиции и панно, которые, несомненно, станут украшением, как дома, так и школьных кабинетов.

Жизнь настоятельно требует сегодня сделать эстетику не гостьей на уроке, а эффективным средством повышения качества воспитания и преподавания. Может вот так ученик и превратится из сосуда, который нужно наполнить, в факел, который нужно зажечь.

Литература

1. Гусарова Н.Н. Техника изонити для дошкольников. Методическое пособие. - СПб., «Детство-Пресс», 2000.
2. Леонова О.В. Рисуем нитью: Ажурные картинки. - М., «Литера», 2005.
3. Сашко Л. Н. Хордовый стежок - Златоуст, 2004.
4. Интернет сайт Людмилы Сашко
5. http://nauka.relis.ru/50/0412/50412116.html
6. http://kvazu.narod.ru/izonit.html
7. http://uglichkukla.narod.ru/Teh_Izonit.htm
8. http://nauka.relis.ru/50/0412/50412116.htm
9. http://urok.1sept.ru/articles/506659/
10. http://nityanaya-grafika.narod.ru/