Тип урока: Изучение нового материала.
Цель: изучение графика показательной функции, определение её свойств и выяснение области применения показательной функции.
Задачи:
Учебные:
- научить строить графики показательных функций с разными основаниями;
- научить определять свойства показательной функции по её графику;
- показать практическое применение показательной функции в жизни и других науках.
Развивающая:
- совершенствовать умения сравнивать, анализировать, обобщать.
Воспитательные:
- воспитывать познавательный интерес к математике;
- формирование точности и аккуратности при построении чертежей.
Используемые образовательные технологии: ИКТ технология.
Методы: частично-поисковый, элементы проблемно-эвристического.
В рамках урока формируется критичность мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, представление о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, понимание значимости математики для научно-технического прогресса, отношение к математике как к части общечеловеческой культуры
Необходимые технические средства: интерактивная доска, электронная презентация.
Раздаточный материал: Тестовые задания для самостоятельной работы.
Структура урока
Математика - это язык,
на котором написана книга природы.
Г.Галилей
I. Организационный момент
Преподаватель приветствует обучающихся.
Целеполагание.
Изучение графика показательной функции, определение её свойств и выяснение области применения показательной функции.
2. Актуализация знаний
Слово преподавателя.
А знаете ли вы, что с достаточной точностью можно вычислить количество болезнетворных бактерий при попадании их в благоприятную среду? Например, когда человек болеет. Или можно подсчитать количество особей, в какой либо популяции животных через определённый промежуток времени? Или узнать, сколько будет денег на вкладе у вас через 5 лет, если вы положите, например 100 тысяч рублей под срочные проценты в банк? А еще можно определить возраст дерева, или открыть новую планету.
Слайд 1
Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты - прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза?
Слайд 2
Или другая задача: В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?
Оказывается эти и другие задачи можно решить с помощью показательной функции. Записываем в тетрадь тему занятия «Показательная функция и её свойства».
3. Объяснение нового материала
Слайд №3.
Определение: Функция вида y=ax, где a>0; a≠1, называется показательной функцией с основанием a.
Слово преподавателя. Как вы думаете, почему основание степени не может быть равным 1, или меньше 0?
(Предполагаемый ответ: т. к. 1 в любой степени равна 1, а при возведении отрицательного числа в дробную степень на множестве действительных чисел решений нет).
Запишем определение в тетрадь.
Сейчас мы с вами построим график функции на доске, а затем каждый из вас построит график в тетради.
Работа на интерактивной доске: на доске сделаны заготовки таблиц для построения графиков функций y=2xи y=(1/2)x. Обучающимся предлагается сначала заполнить первую таблицу и по таблице на интерактивной доске построить график функции в заранее приготовленной системе координат. Один обучающийся строит на доске, все проверяют правильность построения. Затем все строят в своих тетрадях. После этого все вместе заполняем вторую таблицу и другой обучающийся строит на доске вторую функцию.
Преподаватель обращает внимание на правильность и аккуратность построения.
Слово преподавателя. Давайте определим по графику основные свойства показательной функции. Я напомню, что мы должны найти область определения функции D(x), множество значений функции E(y), промежутки монотонности функции, её экстремумы, выяснить чётность и периодичность. Все результаты будем записывать на интерактивной доске и в тетрадях.
Работа на интерактивной доске: Основные свойства показательной функции:
- D(x)=(-∞;+∞);
- E(y)=(0;+∞);
- Функция монотонно возрастает, если a>1, и монотонно убывает, если 0<a<1.
- Графики всех показательных функций проходят через точку А(0;1).
- Почему все показательные функции проходят через эту точку? ( Предполагаемый ответ: т.к. любое число в нулевой степени равно 1)
- Функция не имеет экстремумов, не периодическая, не является ни чётной ни нечётной.
4. Закрепление нового материала
Слово преподавателя. Я вам предлагаю графики показательных функций, построенных на доске. По графикам вы должны определить свойства этих функций.
Преподаватель на интерактивной доске строит графики различных функций в редакторе Excel, придавая разные значения параметрам aи b.
Ответьте на вопросы:
- Найдите область определения и множество значений функции.
- Выяснит, функция убывает, или возрастает. Почему?
- Чему равно значение каждой функции, если значение аргумента равно 2? А -2?
- Чему равно значение аргумента, если значение функции равно 4,5? (x=-2.7)
(На доске выполняется нахождение ответов с помощью перпендикуляров, опущенных из нужных точек)
Слайд №5.
Слайд №6.
5. Выводы по проблемному заданию
Слово преподавателя. А сейчас вернёмся к задачам, прозвучавшим в начале занятия.
- Рост количества бактерий происходит по закону N=5t, где N - число колоний бактерий в момент времени t; t - время размножения. Это закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.
- Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8∙1014 особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн, а если выстроить их в цепочку, то её длина будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
- По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов, - все эти процессы подчиняются одному закону: N=N0ekt.
- Другой пример. При испуге в кровь выделяется адреналин, который потом разрушается, причём скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, остающемуся ещё в крови. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из организма радиоактивные изотопы. Причём их количество в крови падает по показательному закону.
- Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.
- Рост древесины происходит по закону: A=A0∙akt, где А - изменение количества древесины во времени; А0 - первоначальное количество древесины; t - время.
Существует большое количество практических задач, которые решаются с применением показательного закона. Вы сами можете найти такие задачи и посмотреть их решение.
Слайды 7-11
6. Самостоятельная работа
Обучающимся выдаются тестовые задания.
1 вариант:
По данному графику показательной функции y=3x-2 нужно:
|
Номер задания |
Задание |
Ответы |
||
|
А |
Б |
В |
||
|
1. |
Найти область определения функции. |
(-∞;+∞) |
(-2;+∞) |
(-∞;3) |
|
2. |
Найти множество значений функции. |
(-∞;+∞) |
(-∞;3) |
(-2;+∞) |
|
3. |
Определить монотонность функции. |
возрастает |
убывает |
не возрастает и не убывает |
|
4. |
Найти значение функции, если значение аргумента равно 2. |
Y=1 |
Y=3 |
Y=7 |
|
5. |
Найти значение аргумента, если значение функции равно 1. |
X=0 |
X=1 |
X=5 |
2 вариант:
По данному графику показательной функции y=(1/4)x+2 нужно:
|
Номер задания |
Задание |
Ответы |
||
|
А |
Б |
В |
||
|
1. |
Найти область определения функции. |
(-∞;+∞) |
(-2;+∞) |
(2;+∞) |
|
2. |
Найти множество значений функции. |
(-∞;+∞) |
(-∞;3) |
(2;+∞) |
|
3. |
Определить монотонность функции. |
возрастает |
убывает |
не возрастает и не убывает |
|
4. |
Найти значение функции, если значение аргумента равно -1. |
Y=1 |
Y=3 |
Y=6 |
|
5. |
Найти значение аргумента, если значение функции равно 3. |
X=0 |
X=1 |
X=5 |
Критерии оценок: количество правильно выполненных заданий - заработанная оценка преподаватель объявляет обучающимся.
После выполнения заданий обучающиеся меняются своими работами, на интерактивной доске появляются варианты с правильными ответами, выделенными цветом.
1 вариант (Слайд 12)
По данному графику показательной функции y=3x-2 нужно:
| Номер задания |
Задание |
Ответы |
||
|
А |
Б |
В |
||
|
1. |
Найти область определения функции. |
(-∞;+∞) |
(-2;+∞) |
(-∞;3) |
|
2. |
Найти множество значений функции. |
(-∞;+∞) |
(-∞;3) |
(-2;+∞) |
|
3. |
Определить монотонность функции. |
возрастает |
убывает |
не возрастает и не убывает |
|
4. |
Найти значение функции, если значение аргумента равно 2. |
Y=1 |
Y=3 |
Y=7 |
|
5. |
Найти значение аргумента, если значение функции равно 1. |
X=0 |
X=1 |
X=5 |
2 вариант (Слайд 13)
По данному графику показательной функции y=(1/4)x+2 нужно:
| Номер задания |
Задание |
Ответы |
||
|
А |
Б |
В |
||
|
1. |
Найти область определения функции. |
(-∞;+∞) |
(-2;+∞) |
(3;+∞) |
|
2. |
Найти множество значений функции. |
(-∞;+∞) |
(-∞;3) |
(2;+∞) |
|
3. |
Определить монотонность функции. |
возрастает |
убывает |
не возрастает и не убывает |
|
4. |
Найти значение функции, если значение аргумента равно -1. |
Y=1 |
Y=3 |
Y=6 |
|
5. |
Найти значение аргумента, если значение функции равно 4. |
X=0 |
X=1 |
X=5 |
Обучающиеся оценивают свою работу и полученные знания, поднимая карточки разного цвета и формы:
- «красная карточка» - отлично (в форме звезды)
- «зелёная карточка» - хорошо(в форме квадрата)
- «жёлтая карточка - удовлетворительно (в форме треугольника)
- «белая карточка» - неудовлетворительно (в форме круга)
7. Подведение итогов. Рефлексия
Возвращение к целям и задачам урока.
Предполагаемый вывод:
- Показательная функция имеет вид y=ax, где a>0; a≠1;
- Возрастает, если a>1, и убывает, если 0<a<1;
- Используется при решении многих практических задач
Преподаватель отмечает наиболее активно работавших обучающихся
ХОД ЗАНЯТИЯ (технологическая карта занятия)
|
Этап урока
|
Методы и приемы обучения |
Средства обучения |
Деятельность преподавателя |
Деятельность обучающихся |
Время |
|
Организационный момент.
|
Беседа с обучающимися |
|
Формулирует цель и задачи урока |
Слушают преподавателя |
2 мин |
|
2. Постановка проблемы |
Проблемное обучение |
Презентация
|
Ставит проблему |
Участвуют во фронтальной беседе |
4 мин |
|
3. Изучение нового материала |
Частично-поисковый |
Презентация слайд 3, 4 интерактивная доска |
Работа с интерактивной доской |
Заполняют таблицы, строят графики |
10 мин |
|
4. Закрепление нового материала |
Частично-поисковый |
Презентация слайды 5,6 |
Задаёт вопросы обучающимся |
Отвечают на вопросы преподавателя |
4 мин |
|
5. Выводы по проблемному заданию |
Беседа с обучающимися |
Слайды 7-11 |
помогает обучающимся ответить на поставленный в начале урока вопрос преподавателя |
Делают выводы по поставленной проблеме;
|
3 мин |
|
6. Самостоятельная работа |
Индивидуальная самостоятельная работа |
Тестовые задания |
Организует индивидуальную самостоятельную работу |
Выполняют тестовую самостоятельную работу |
5 мин |
|
7. Подведение итогов. Рефлексия |
Самооценка |
Интерактивная доска с правильными ответами
|
Наблюдает за ходом проверки |
оценивают свой уровень работы на занятии и уровень других обучающихся |
2 мин |